Почетный президент Федерации биатлона Московской области. Член совета Союза биатлонистов России. Заслуженный работник физической культуры, спорта и туризма Московской области. Заслуженный мастер спорта и тренер России. Олимпийский чемпион 1976 года в Инсбруке. Чемпион Мира и Советского Союза. Многократный призер международных турниров.
Александр Елизаров родился 7 марта 1952 в деревне Вязовка, Пензенская область. Лыжным спортом увлекся в возрасте пятнадцати лет во время учебы в профессионально-техническом училище в городе Кузнецке. Являлся неоднократным чемпионом городе, и как сильнейшего лыжника его пригласили учиться в Пензенский машиностроительный техникум, где впервые попробовал себя в биатлоне и стал заниматься под руководством Николая Елахова.
В 1973 году Елизаров стал победителем среди юниоров первенства мира в эстафете и бронзовым призером на 15 километров по малому калибру. В 1975 году переехал в подмосковные Мытищи. Работая на местном машиностроительном заводе, активно готовился к будущей Олимпиаде. Выступал за добровольное спортивное общество «Труд».
На зимних Олимпийских играх 1976 года в Инсбруке Александр Матвеевич Елизаров стал олимпийским чемпионом в эстафете и бронзовым призером в индивидуальной гонке на двадцать километров. В эстафете выступал на первом этапе.
В 1978 году спортсмен окончил Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма. С 1980 по 1985 год работал тренером молодежной сборной Советского Союза. В 1985 году создал на базе общеобразовательной средней школы № 4 города Мытищи и являлся первым директором детской юношеской спортивной школы по биатлону добровольного спортивного общества «Труд». В 1987 году школа названа именем Елизарова.
В середине 1980-х годов Александр Матвеевич выступил инициатором создания Федерации Биатлона Московской области, став ее первым президентом. В 1995 году создал ЗАО «Оружейный Дом» города Мытищи и на протяжении двадцати лет руководил им. Спонсировал ведущих спортсменов и тренеров, проживающих в Мытищинском районе.
Елизаров в 1999 году являлся организатором экспедиции на Северный полюс, где провел первые соревнования по биатлону. В 2002 году получил почетное звание «Заслуженный тренер России». В 2009 году стал Почетным гражданином Пушкинского муниципального района, Московской области.
В декабре 2017 года на Конференции Российского союза спортсменов общим голосованием Александр Елизаров избран Вице-президентом Российского Союза Спортсменов. В мае 2018 года на Конференции Союза биатлонистов России избран членом совета Союза биатлонистов России.
В июле 2018 года Елизарову присвоено почетное звание «Заслуженный работник физической культуры, спорта и туризма Московской области».
В январе 2019 года на отчетно-выборной конференции Региональной общественный организации Федерация биатлона Московской области Александр Елизаров единогласно избран Почетным президентом Федерации биатлона Московской области.
Награды и Признание Александра Елизарова
Орден «Знак почета»
Почетным Знак «За заслуги в развитии физической культуры и спорта»
Почетный Знак «За заслуги олимпийского движения в России»
Почетное звание «Заслуженный работник физической культуры, спорта и туризма Московской области»
Почетное звание «Почетный гражданин Пушкинского муниципального района»
В марте 2012 года в Пензе на здании машиностроительного колледжа, в котором в 1971-1975 годах учился Елизаров, в присутствии губернатора Пензенской области Василия Бочкарева открыта мемориальная доска в честь именитого выпускника
В 2012 году награжден знаком и дипломом губернатора Московской области «Благодарю»
Спортивные Достижения Александра Елизарова
Олимпийский чемпион (1976 - эстафета 4х7,5 км). Бронзовый призер Олимпийских игр (1976 - индивидуальная гонка на 20 км).
Чемпион мира (1977 - эстафета 4х7,5 км).
Серебряный призер чемпионатов мира (1975, 1976 - спринт на 10 км, 1975 - эстафета 4х7,5 км).
Чемпион СССР (1978 - гонка патрулей).
Серебряный (эстафета 4х7,5 км) и бронзовый (индивидуальная гонка на 20 км) призер чемпионата СССР (1978).