Александр Есипов родился 2 марта 1967 года. Выпускник Московского суворовского военного училища. В дальнейшем был направлен на прохождение срочной военной службы, попав по распределению в медико-санитарный батальон. Его взвод занимался обеспечением Центрального военного госпиталя имени А. А. Вишневского, который тогда назывался 114-й ОВГ Московского округа ПВО. Завершил службу в качестве санитара-инструктора.
Вероятно служба в медсанбате на базе одного из лучших военных госпиталей страны повлияла на профессиональное самоопределение молодого человека, так как в 1990 году он стал слушателем петербургской Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова. Затем продолжил обучение в своей альма-матер на факультете, который занимается подготовкой руководящего медицинского состава. Получал практический опыт сначала в должности ординатора, а потом старшего ординатора операционно-перевязочного взвода.
Окончив ВУЗ в 1997 году, по результатам распределения оказался в штате 114-го Окружного военного госпиталя Московского округа противовоздушной обороны в подмосковном городе Красногорск. Был в числе первых выпускников своей академии, которые устроились в данное учреждение за последние на тот момент 10 лет. Обычно в этот госпиталь попадали чаще действующие врачи и реже интерны. Был в числе специалистов под руководством заведующего урологическим отделением Дубровских Анатолия Владимировича – выдающийся врач, который многому его научил. Коллеги быстро разглядели в молодом враче перспективного хирурга-уролога. Поэтому не удивительно, что начальник отдела назначил его старшим ординатором своего отделения
Летом 1998 года Александр Есипов был назначен начальником 114 ОВГ Московского округа ПВО. В дальнейшем учреждение переименовывалось и переформировывалось трижды: с 1999 года - 5 Центральный военный клинический госпиталь военно-воздушных сил, с 2010 года - филиал № 1 ФГУ «Главного военного клинического госпиталя имени академика Н.Н. Бурденко», с 2013 года филиал №1 ФГБУ «3ЦВКГ им. А.А. Вишневского» Минобороны РФ.
Не смотря на то, что после развала СССР и армейских реформ в вооруженных силах творились беспорядки, специалисты пытались стабилизировать положение. Александр Есипов сумел удержать госпиталь наплаву, сохранить его функционирование и не растерять сотрудников. Будучи начальником, он не ограничивался кабинетной работой. Наравне с коллегами лечил и оперировал пациентов.
Кроме того успевал заниматься наукой. Написал научную работу на соискание кандидатской степени, а в 2006 году стал доктором медицинских наук, защитив диссертацию на тему «Концепция качества жизни пациентов с заболеваниями мочеполовой системы» на базе Российского университета дружбы народов. Научным консультантом перспективного хирурга-уролога был академик Лоран Олег Борисович.
За годы грамотного руководства разваливающийся военный госпиталь трансформировался в престижное многопрофильное медицинское учреждение. Например в 2017 году был открыт новый хирургический комплекс, который он курировал на всех этапах формирования. Заработал новейший операционно-диагностический комплекс, в котором объединились диагностические и кардиохирургические инструменты. Стал возможен прием пациентов, доставленных воздушным транспортом (для этого директор инициировал возведение вертолётных площадок), и пострадавших в дорожно-транспортных происшествиях на Рижском, Минском и Волоколамском шоссе (организовал совместно с дорожной инспекцией программу, чтобы увеличить шансы на спасение в первый час аварии).
При непосредственном участии Александра Есипова было проведено множество уникальных операций. Благодаря тому, что он вовремя модифицировал госпиталь, позаботился о квалификации кадров и обеспечил обмен опытом, были спасены тысячи жизней. Это стало большим подспорьем для доверия со стороны Министерства оборы России. Директор считается авторитетным экспертом, поэтому часто принимает участие в разработке проектов новых отделений в структурах военно-медицинского комплекса. Занимается научной деятельность, становясь членом комиссий или консультантом. Написал несколько сотен научных трудов, охватывающие сферы урологии, хирургии и лимфатической терапии.
Авторитет Александра Есипова и результаты его управленческих решений обеспечивают госпиталю прочную репутацию. Благодаря этому учреждение своевременно обновляет материально-техническую базу и не испытывает трудностей в связи с курсом на импортзамещение. О своих прямых обязанностях генерал-майор не забывает. Он по-прежнему проводит операции. Так, летом 2022 года доктор находился в зоне специальной военной операции на Украине, где лично провел экстренную операцию в полевом госпитале.
К тому же продолжает заниматься научной и консультационной деятельностью. Например в 2024 году стало известно, что Александр Есипов примкнул к числу доверенных лиц кандидата в президенты – действующего президента страны Владимира Путина.
Среди заметных наград за профессиональную деятельность премия Спасение и милосердие «За сбережение народа», полученная в 2015 году, и Государственная премия Российской Федерации имени Маршала Советского Союза Г.К. Жукова «За работу «Инновационные и гибридные технологии в системе восстановительного лечения раненых и больных кардиологического профиля».
О личной жизни медика, кроме того, что он женат, ничего не известно.