Алексей Езубов родился 10 февраля 1948 года в хуторе Сокольский, Краснодарский край. После школы, в 1969 году окончил Орджоникидзевское высшее зенитное ракетное командное училище противовоздушной обороны имени генерала армии Иссы Александровича Плиева по программе «Радиолокационные устройства». После училища, до 1992 года проходил службу в Вооруженных силах России, затем на границе. Является Ветераном Вооруженных Сил.
После выхода на пенсию по выслуге лет занимался предпринимательской деятельностью. С 1996 по 1997 год работал экспертом банка «Московский деловой мир». В 1997 году стал заместителем финансового директора ООО «Сибирский алюминий», занимал пост руководителя управления учета и перераспределения денежных средств финансового департамента компании.
С 1997 года на протяжении пяти лет Езубов Алексей руководил аграрным холдингом компании «Базовый элемент» в городе Усть-Лабинск, Краснодарского края. На его базе в 2002 году учрежден Агрохолдинг «Кубань». Параллельно, являлся финансовым директором акционерного общества «Сибирская инвестиционная компания», а также возглавлял фонд «Фиделитас».
Езубов входил в советы директоров различных компаний и организаций, в том числе Московского завода обработки цветных металлов, Саянского алюминиевого завода, Автогазбанка, общества с ограниченной ответственностью «Управляющая компания АгроХолдинг «Кубань», благотворительного Фонда Олега Дерипаски «Вольное дело», фонда «Историко-культурное наследие Кубани» и других. Возглавлял совет директоров племенного завода «Кубань».
С 2007 по 2016 год являлся депутатом Государственной Думы Российской Федерации V и VI созывов. Избирался по списку Всероссийской политической партии «Единая Россия» от Краснодарского края. Входил в партийную фракцию, комитет по аграрным вопросам, по жилищной политике и жилищно-коммунальному хозяйству.
Езубова Алексея Петровича 18 сентября 2016 года избрали Депутатом Государственной Думы Федерального Собрания VII созыва от избирательного округа 0051, Тихорецкий - Краснодарский край. Член ВПП «Единая Россия». Входит в состав комитета Государственной Думы по аграрным вопросам. Дата начала полномочий: 18 сентября 2016 года.
С 2007 по 2019 год, в течение исполнения полномочий депутата Государственной Думы Российской Федерации V, VI и VII созывов, Алексей Петрович Езубов выступил соавтором 28 законодательных инициатив и поправок к проектам федеральных законов
Медаль «За боевые заслуги»
Медаль «За безупречную службу в Вооруженных Силах СССР» I, II и III степени
«Ветеран Вооруженных Сил СССР»
Благодарности Правительства РФ, Председателя Государственной Думы, Краснодарского регионального отделения ВПП «Единая России»
Почетная грамота Государственной Думы
Почетный знак Государственной Думы «За заслуги в развитии парламентаризма».
За большой вклад в сохранение духовного наследия и благотворительность Патриархом Московским и Всея Руси Алексием II награжден Орденом русской православной церкви Преподобного Сергия Радонежского III степени.
За активное участие в ликвидации последствий стихийного бедствия в городе Крымске Краснодарского края (2012 год) награжден памятной медалью МЧС России «Маршал Василий Чуйков»
Старшая сестра - Валентина Петровна.
Жена - Галина Николаевна (брак с 1970).
Сын - Павел, предприниматель, совладелец ряда компаний, генеральный директор некоммерческого фонда «Фиделитас».
Дочь.