Андрей Филатов родился 18 декабря 1971 года в городе Кривой Рог, Украина. С детства увлекался шахматами, участвовал в турнирах школьных команд «Белая ладья». Окончил Детско-юношескую спортивную школу №9 в городе Днепропетровск. Получил звание кандидата в мастера спорта по шахматам. В 1993 году окончил Белорусский государственный университет физической культуры, по специальности преподаватель физической культуры. 

В 1996 году совместно с партнерами К. Николаевым и Н. Мишиным основал компанию «Северстальтранс», с момента создания вошел в состав Совета директоров, назначен Исполнительным директором компании.

В 2012 году основал художественный фонд Art Russe, основной задачей которого является популяризация русского и советского искусства для международной аудитории посредством организации выставок и поддержки просветительских проектов. 

С 1 февраля 2014 года на XXII съезде Российской шахматной федерации Андрея Васильевича избрали Президентом РШФ. Вице-президент Международной шахматной федерации. 

Филатов принимает участие в разработке и реализации проектов в сфере развития инфраструктуры, в частности, проекта строительства автодороги по концессионным соглашениям в рамках компании Vinci Concession Russie, совместного предприятия с Vinci SA. Один из совладельцев компаний Global Ports и Globaltrans. Член Экономического совета французских и российских предприятий Франко-российской торгово-промышленной палаты.

За большой вклад в развитие и популяризацию российского и советского искусства удостоен звания Почетного академика Российской академии художеств. Является кавалером Ордена Почетного легиона. Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, бронзовой медалью на 42-й Всемирной шахматной Олимпиаде как тренер мужской сборной России, серебряной медалью на Командном Чемпионате мира. Лауреат Государственной премии.

Андрей Филатов за активное участие в подготовке передачи флага крейсера «Варяг» Республикой Корея отмечен Почетной грамотой Президента России. По версии Клуба любителей истории и статистики спорта является Лучшим спортивным менеджером 2014 года.