Алексей Федоров родился 25 мая 1991 года. Алексей вырос в городе Смоленск. Его родители работали тренерами по легкой атлетике. В детстве занимался футболом, баскетболом, бегал эстафеты в школе. Отец сразу увидел в сыне потенциал к тройным прыжкам, но специфика этой дисциплины такова, что раньше 14 лет ребенку нельзя давать нагрузки на позвоночник. Поэтому какое-то время Алексей занимался в легкой атлетике укреплением мышц, развитием гибкости и координации.
Наконец, Алексей смог сосредоточиться на тренировках в секторе для прыжков. Стройный, фактурно сложенный парень прогрессировал от соревнования к соревнованию под руководством родителей Л. Л. Федорова, Т. С. Федоровой.
После школы Алексей поступил в Смоленское государственное училище олимпийского резерва. Затем продолжил обучение в Смоленской государственной академии физической культуры, спорта и туризма и одновременно в Смоленском гуманитарном университете, по специальности психолога.
В 2007 году Алексей стал серебряным призером на юношеском первенстве мира в городе Острава, в Чехии. После чего получил приглашение совершенствовать мастерство в подмосковном Центре олимпийских видов спорта.
В 2009 году Федоров выиграл юниорский Чемпионат Европы, а в 2010 году получил золотую медаль на Чемпионате мира среди юниоров в городе Монктон, Канада.
В 2013 году на Чемпионате России в помещениях Алексей выиграл серебряную медаль. А в следующем году на Чемпионате Европы в городе Цюрих, в Швейцарии, он стал бронзовым призером.
За достижения в профессиональной деятельности в июле 2013 года Алексею объявлена благодарность Президента Российской Федерации.
Приказом министра спорта от 15 декабря 2015 года Федорову присвоено почетное звание «Заслуженный мастер спорта России».