Алексей Фурсин родился 1 декабря 1974 года. В 1997 году окончил Государственный университет по землеустройству в Москве. В 1997-2001 годах учился в Российской академии государственной службы при Президенте Российской Федерации.

С 1997 по 1998 год работал на должности ведущего специалиста в отделе федеральных земель Управления реформирования земельных отношений Государственного комитета Российской Федерации по земельным ресурсам и землеустройству.

В 1998 году перешел на должность главного специалиста отдела федеральных земель Департамента земельной политики Министерства Российской Федерации по земельной политике, строительству и жилищно-коммунальному хозяйству.

С декабря 1998 по август 2000 занимал должность главного специалиста отдела федеральных земель Управления государственных и муниципальных земель, являлся советником, заместителем начальника Управления государственных земель Государственного комитета Российской федерации по земельной политике.

В 2000 году перешел на должность начальника отдела законопроектных работ Управления земельной реформы, работал заместителем начальника Управления земельной реформы. До 2004 года работал начальником отдела законопроектных работ и нормативно-методического обеспечения Департамента земельной политики Министерства имущественных отношений Российской Федерации.

В 2004 году был назначен заместителем начальника Управления недвижимого и движимого имущества Федерального агентства по управлению федеральным имуществом и проработал на этой должности вплоть до 2007 года.

С 2007 по 2008 год занимал должность заместителя генерального директора по вопросам разграничения государственной собственности на землю и регионального развития в Дирекции Федерального государственного унитарного предприятия «Федеральный компьютерный центр фондовых и товарных информационных технологий (ФТ-Центр)».

В 2008 году перешел на должность руководителя Департамента земельных ресурсов и объектов недвижимости. До октября 2015 года занимал должность Первого заместителя генерального директора Федерального фонда содействия развитию жилищного строительства («ФОНД «РЖС»).

В сентябре 2016 года назначен первым заместителем руководителя Департамента науки, промышленной политики и предпринимательства города Москвы. 

В феврале 2017 года Алексей Фурсин назначен руководителем Департамента науки, промышленной политики и предпринимательства города Москвы. С 21 сентября 2018 года является руководителем Департамента предпринимательства и инновационного развития города Москвы.