Арсен Галстян родился 19 февраля 1989 года в селе Неркин, Кармирахпюр Шамшадинского района, Армянской ССР. Спортом занимается с раннего детства. Его отец был футболистом, играл за дилижанский клуб «Импульс», во второй половине 1970-х годов выступал в составе ереванского «Арарата», затем был тренером по футболу. Два брата Арсена - старший Тигран и младший Арман - мастера спорта по дзюдо.

Когда Арсену было семь лет, семья переехала в станицу Гиагинскую Республики Адыгея. Там он и начал заниматься дзюдо - в местной спортивной секции при школе № 4 станицы. Затем, поступив после школы в Институт физической культуры и дзюдо Адыгейского государственного университета в Майкопе, продолжил занятия во всемирно известной майкопской школе дзюдо (ее основал Якуб Коблев, который считается лучшим тренером России 20 века по дзюдо). Первым тренером Арсена стал Игорь Романов, в институте его тренером был Айвар Хашханок (серебряный призер чемпионата мира среди мастеров).

В 2007 году Галстян вошел в состав сборной России по дзюдо. На его счету - победы на чемпионатах мира и Европы, на Кубках Европы среди юношей и среди юниоров, на национальных чемпионатах.

Но главной победой Арсена Галстяна, которая принесла ему мировую известность, стала золотая медаль на Олимпиаде 2012 года в Лондоне. Выступая в весовой категории до 60 кг, в полуфинале он победил Ришода Собирова, Узбекистан, в финале на 41-й секунде - японца Хироаки Хираоку, завоевав первую для сборной России медаль на тех Олимпийских играх.

Сразу после Олимпиады Арсен Галстян был удостоен звания Заслуженный мастер спорта России. Также в 2012 году его наградили Орденом Дружбы - за большой вклад в развитие физической культуры и спорта и высокие спортивные достижения.

В настоящее время Арсен Галстян продолжает свою спортивную карьеру, живет и тренируется в Краснодаре.