Анастасия Галустян родилась 25 июня 1999 года в городе Москва. В детских соревнованиях выступала в российских стартах, однако затем приняла решение выступать за родину своих родителей.
Трижды представляла новую свою родину на юниорских мировых чемпионатах. Все три раза выступала не совсем удачно, трижды представляла Армению на чемпионате Европы: в 2015 году заняла 13 место, в 2016 году 15, в 2017 году 12 и два раза на чемпионате мира: 29 место в 2015 году и 24 место в 2016. Ей удалось принять участие во II зимних юношеских Олимпийских играх, где финишировала десятой.
В предолимпийский сезон Анастасия первой из всех армянских фигуристок дебютировала во взрослой серии Гран-при. В Москве на Кубке Ростелекома Галустян заменила американскую фигуристку Полину Эдмундс и заняла девятое место. Через неделю она в Париже на французском этапе заменила другую американскую фигуристку и финишировала предпоследней.
На чемпионате мира 2017 года в Хельсинки она прошла в финальную часть соревнования где заняла место в третьей десятке, однако, это не позволило ей пройти квалификацию и завоевать путевку на Олимпиаду в Пхенчхане.
По состоянию на 31 января 2017 года занимает 36-е место в рейтинге Международного союза конькобежцев