Гордей Горшков родился 11 февраля 1993 года в городе Санкт-Петербург. Его мама и папа фигуристы Светлана Французова и Олег Горшков. Начал заниматься фигурным катанием в возрасте 5 лет. Первый тренер Наталья Голубева, после перешел в группу к Евгению Рукавицыну. Много лет входил в состав сборных команд России. После сезона 2007/2008 года поменял наставника и начал тренироваться у Алексея Урманова.

Пять сезонов выступал в серии Гран-при среди юниоров, один раз под руководством Урманова смог отобраться в финал юниорской серии Гран-при сезона 2011/2012 года где занял восьмое место. По окончанию этого сезона решил себя попробовать в парном катание. Следующий сезон по этой причине пропустил попытка была неудачной, и фигурист вернулся в одиночное катание к прежнему своему тренеру Рукавицыну.

Сезон 2013/2014 года Горшков начал на турнире в городе Грац, где занял третье место. Выступал в родном городе на мемориале Панина, где оказался вторым. В конце ноября был включен в сборную России на Универсиаду в Италии. К удивлению многих после первого дня соревнований он оказался вторым, а произвольную программу даже выиграл. Однако в сумме остался на втором месте. Там он обновил свои показатели во всех видах программы.

Через две недели выступал на Российском Чемпионате, где немного улучшил показатели в короткой программе, но неудачно откатал произвольную и оказался лишь на двенадцатом месте. Послеолимпийский сезон Горшков начал на Мемориале Непелы в Словакии, где занял третье место. В произвольной программе фигурист пытается исполнять прыжок четверной риттбергер, до сих пор в мире никем чисто не исполненный. Через месяц на турнире в городе Рига неплохо выступил на Кубке Вольво в короткой программе, улучшил свои спортивные достижения. После произвольной программы остался на втором месте.

На Российском Чемпионате занимал после короткой программы 7 место, в произвольной финишировал на 4 месте. Это позволило ему впервые подняться на пятое место. Как и прошлый год Горшков был направлен на зимнюю Универсиаду, однако на этот раз выступил не совсем удачно. На завершающем старте сезона выиграл финал Кубка России.

Удачно стартовал и в новом сезоне 2015/2016 года. На Мемориале Непелы оказался вновь на третьем месте. Были улучшены достижения во всех трех категориях. В начале декабря на турнире в Загребе улучшил свои достижения в короткой программе и занял четвертое место. На национальном Чемпионате выступил очень удачно, в сложной борьбе финишировал на четвертом месте.

Новый предолимпийский сезон Гордей начал на Мемориале Непелы в Словакии, после короткой программы шел на третьем месте, но неудачно откатал произвольную программу и в итоге оказался на пятом месте.

В начале ноября российский фигурист выступал на домашнем этапе Гран-при в гоороде Москва, где на Кубке Ростелекома занял место в середине турнирной таблицы. При этом улучшил свои прежние достижения в сумме и произвольной программе.