Анастасия Горячева родилась в 1980 году в городе Москва. Увлеклась танцами еще в раннем возрасте. Сначала занималась в танцевальном кружке, в десятилетнем возрасте поступила в Московское хореографическое училище. В училище училась сначала у В.С. Самароковой, затем у М.В. Михайловой. Три года в старших классах танцевала под руководством Т.А. Гальцевой. Окончила училище в 1998 году.
В 1998 году Горячеву приняли в балетную труппу Государственного академического Большого театра в класс к М.В. Кондратьевой. Ее педагогом-репетитором стала Р.С. Стручкова. Впоследствии педагогом-репетитором артистки стала Светлана Адырхаева. В первый месяц работы в театре исполнила па-де-де из балета «Фестиваль цветов в Дженцано» в концерте звезд балета в дуэте с Дмитрием Гудановым.
Анастасия в январе 2000 года приняла участие в гастролях на Бермудских островах в составе группы солистов Государственного Академического Большого театра, выступая в гала-концертах. В этом же году исполнила в премьерном спектакле вторую вариацию в па д'аксьон в балете «Дочь фараона»; партию принцессы Авроры в «Спящей красавице».
В 2002 году балерина получила высшее образование, окончив исполнительский факультет Московской государственной академии хореографии.
В 2003 году выступила на Международном фестивале балета имени Р. Нуреева в городе Казань Республики Татарстан, исполнив партию Феи Бриллиантов в балете «Спящая красавица» и сольную партию в «Шопениане», и Международном балетном фестивале в городе Колорадо, США, исполнив па де де из балетов «Фестиваль цветов в Дженцано», «Жизель», также партию Девушки в балете «Видение розы» на музыку К.М. фон Вебера.
Балерина танцевала партию Лизы в балете «Тщетная предосторожность» в 2005 году в Грузинском театре оперы и балета имени З. Палиашвили.
Анастасия Горячева в 2008 году исполнила партии Сильфиды в балете «Сильфида» Х.С. Левенскольда; Зины в «Светлом ручье» Д. Шостаковича в постановке А. Ратманского;
Аделины в «Пламя Парижа» Б. Асафьева; Па де труа из «Пахиты» Л. Минкуса. Стала одной из первых исполнительниц Пары в синем в балете «Русские сезоны» на музыку Л. Десятникова.
В 2016 году танцевала ведущую партию в «Изумрудах», I части балета «Драгоценности» на музыку Г. Форе.
За заслуги в профессиональной деятельности балерина удостоена Почетного звания «Заслуженная артистка Российской Федерации». Лауреат премии «Московские дебюты» Союза театральных деятелей России за партии в балетах «Агон» и «Чиполлино». Награждена призом журнала «Балет» «Душа танца» в номинации «Восходящая звезда».