Александр Гребенкин родился 15 июля 1982 года в городе Мыски, Кемеровская область. В 2002 году, окончил Иркутский военный авиационный инженерный институт с присвоением квалификации «техник» по специальности «Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования».
Далее, в период с 2002 по 2005 год, молодой офицер служил техником расчета подготовки самолетов к полетам по радиоэлектронному оборудованию авиационной группы высшего пилотажа «Стрижи» в воинской части, дислоцированной в поселке Новый Городок, Московская область. Позднее, с 2005 по 2009 год, являлся инженером вышеуказанной воинской части.
С 2009 года, Гребенкин занимал должность инженера группы воинской части. В 2010 году, назначен на пост начальника группы регламента и ремонта в воинской части, находящейся в поселке Новый Городок, Московской области.
В 2011 году, опытный офицер получил дополнительное образование, успешно завершив курс обучения в Московском техническом университете связи и информатики с присвоением квалификации «инженер» по специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение».
Затем, в том же 2011 году, назначен начальником группы воинской части, дислоцированной в поселке Новый Городок, Московская область.
Позже, 10 августа 2018 года, Гребенкин Александр Сергеевич включен в число кандидатов в отряд космонавтов 2017 - 2018 года, с целью подготовки в ЦПК имени Гагарина для дальнейшего обеспечения российской космической пилотируемой программы.
Женат. Воспитывает троих детей.