Максим Григорьев родился 25 апреля 1990 года в городе Санкт-Петербург. В возрасте 16 лет перебрался в Ростов-на-Дону, где тогда базировался «Локомотив-Кубань». Позже вместе с клубом переехал в Краснодар. В феврале 2011 года Григорьев продлил контракт с краснодарской командой до 2015 года.
В декабре 2012 года Григорьев был признан «Лучшим молодым игроком» Единой лиги ВТБ по итогам месяца. В 3 декабрьских матчах Максим набирал в среднем 12,0 очка, 4,3 подбора и 0,6 передачи.
В октябре 2014 года Григорьев был признан «Лучшим российским игроком» Единой лиги ВТБ по итогам месяца. В 5 матчах в составе краснодарской команды Максим в среднем набирал 8,2 очка, 2,0 передачи и заработал 9,6 балла за эффективность действий.
В июне 2015 года Григорьев подписал двухлетний контракт с «Нижним Новгородом». По итогам октября 2015 года был признан «Лучшим российским игроком» Единой лиги ВТБ. В 5 матчах нижегородской команды Григорьев набирал в среднем 17,6 очка, делал 3,2 передачи, 4,0 подбора, 0,8 перехвата и заработал 16,6 балла за эффективность действий.
В начале ноября 2015 года, во 2 четверти матча Еврокубка с «Нептунасом», Григорьев получил повреждение крестообразных связок правого колена. После проведенной операции в Германии стало известно, что Максим выбыл до конца сезона 2015/2016. В декабре была проведена повторная операция в Москве.
Перед началом сезона 2016/2017 Григорьев был назначен капитаном «Нижнего Новгорода». В конце октября 2016 года Григорьев вернулся к тренировкам в общей группе, а 2 ноября провел свою первую игру после травмы. В матче Еврокубка с «МЗТ Скопье» Максим вышел в стартовой пятерке и набрал 13 очков, 3 подбора и 1 блок-шот. В январе 2017 года Григорьев получил повреждение мениска, и в ближайшее время ему предстоит операция.
В июне 2011 года Григорьев был включен в расширенный состав сборной России для подготовки к Евробаскету-2011, но в августе покинул расположение национальной команды. После матча со сборной Литвы главный тренер Дэвид Блатт поблагодарил Максима за проделанную работу и отметил, что это был последний день для игрока на сборах перед Евробаскетом-2011.
В апреле 2012 года Григорев вошел в список 16 кандидатов в сборную России, приглашенных на первый сбор для подготовки к участию в Олимпийском квалификационном турнире.
В июне 2013 года Григорьев попал в расширенный состав сборной России для подготовки к Евробаскету-2013. В начале августа, по окончании утренней тренировки, которая стала последней перед отъездом в Ригу на товарищеские матчи, главный тренер сборной России Василий Карасев сообщил, что Григорьев в дальнейшей подготовке команды к Евробаскету-2013 участвовать не будет. В июле 2013 года, в составе студенческой сборной России, стал победителем Универсиады. В 2015 году 5 марта в ходе заседания исполкома РФБ был утвержден расширенный состав сборной России для подготовки к Евробаскету-2015. В состав команды был включен и Максим Григорьев.