Антон Гримов родился 11 февраля 1987 года в городе Вологда. Трудовую деятельность начал в 2008 году, с должности экономиста ООО «Вологдаметаллострой». В 2009 году, окончил «Вологодскую Государственную молочно-хозяйственную Академию имени Верещагина» по специальности «Статистика», с присвоением квалификации «экономист».
В период с 2009 по 2010 год, Гримов являлся директором ООО «СтройТех».
Далее, с 2010 по 2011 год, работал в должности начальника отдела инертных материалов Общества с Ограниченной Ответственностью «Вологдарегионстрой».
Параллельно с трудовой и общественной деятельностью, принимал непосредственное участие в политической жизни родного региона. Являлся помощником депутата Законодательного Собрания Вологодской области, а так же, занимал должность помощника координатора Вологодского регионального отделения политической партии «ЛДПР» по работе с молодежью.
В 2011 году, молодой политик вошел в состав Координационного Совета Вологодского регионального отделения политической партии «ЛДПР».
Являлся депутатом Законодательного Собрания Вологодской области IIIV созыва.
Впоследствии, 18 сентября 2016 года, Гримов Антон Юрьевич избран депутатом Законодательного Собрания Вологодской Области IX созыва по областному избирательному округу от Вологодского регионального отделения Политической партии «ЛДПР». Занимает пост заместителя председателя комитета по бюджету и налогам. Руководитель фракции «ЛДПР».