Алексей Гринчик родился 26 декабря 1912 года в городе Зима, Иркутская область. В 1932 году, юноша поступил в Московский авиационный институт. Параллельно с обучением в ВУЗе, начиная с 1934 года, работал расчетчиком-прочнистом в КБ имени Ильюшина. В 1935 году, окончил курс обучения в аэроклубе МАИ, где остался работать в должности летчика-инструктора.

В 1936 году, Гринчик успешно окончил обучение в Московском Авиационном Институте. Далее, в 1937 году, Алексей получил дополнительное образование, окончив летную школу Центрального аэрогидродинамического института имени Профессора Жуковского. В период с 1937 по 1941 год, опытный пилот являлся инженером, летчиком-испытателем ЦАГИ. Провел испытания ряда воздушных судов, как советских, так и зарубежных.

Далее, с апреля 1941 года, летчик перешел на летно-испытательную работу в Летно-Исследовательский Институт имени Громова. Провел испытания самолета Та-3 на штопор. В июле-августе 1941 года, летчик служил во 2-й отдельной истребительной авиационной эскадрильи Противовоздушной Обороны города Москва. За вышеуказанный период, Алексей совершил 5 боевых вылетов. В январе-марте 1942 года, являлся заместителем командира АЭ 237-го истребительного авиационного полка, где совершил 57 боевых вылетов, сбил лично 2 и в группе 4 самолета противника. В одном из боев - получил ранение.

С 10 февраля 1942 года, Гринчик Алексей назначен на должность заместителя командира эскадрильи 237-го Истребительного Авиационного Полка. Позднее, в воздушном бою, самолет опытного летчика сбили враги, а пилота объявили пропавшим без вести. Приказом ГУ ФиУк войск КА от 18 апреля 1942 года - приказ об объявлении пропавшим без вести отменен. Гринчик находился в госпитале на излечении. После выздоровления, с мая 1942 года, Алексей вновь вернулся на летно-испытательную работу в ЛИИ имени Громова.

За время работы в ЛИИ, пилотом освоено более 120 типов летательных аппаратов различного назначения. Алексей Гринчик участвовал в испытаниях 14 опытных самолетов, а при испытании 4 опытных самолетов являлся ведущим летчиком-испытателем. Впервые, 27 апреля 1946 года, выполнил полет на первом отечественном реактивном самолете И-300 - МиГ-9.

Трагически погиб 11 июля 1946 года при выполнении полета на опытном самолете МиГ-9, при показе авиационной техники высокопоставленным представителям МАП и Военно-Воздушных Сил. Проживал в городе Жуковский, Московская область. Похоронен в городе Москва, на Новодевичьем кладбище.