Александр Грипич родился 21 сентября 1986 года в городе Славянск-на-Кубани, Краснодарский край. Заниматься легкой атлетикой мальчик начал в 9 лет. Первым тренером будущего чемпиона, являлся отец Александра, Сергей Викторович Грипич. Юный спортсмен принимал непосредственное участие в различных турнирах, чемпионатах и первенствах.
В 2003 году, Грипич одержал первую, значимую победу, выиграв прыжок с шестом на Европейском юношеском олимпийском фестивале в городе Париж, Франция, с результатом 4,95 метра. После этого, несмотря на прогресс в результатах, спортсмену долго не удавалось пройти внутренний отбор на международные старты.
В 2007 году, на турнире «Русская зима» Александру удался прыжок на 5,65 метра, что являлось на 20 сантиметров лучше прежнего личного рекорда легкоатлета. В 2009 году, вошел в число призеров Всемирной Универсиады с результатом 5,60 м. и завоевал первую медаль взрослого чемпионата страны, серебро, с личным рекордом 5,70 м. Продолжить успешный сезон, легкоатлету удалось на чемпионате мира, где Грипич прибавил к личному достижению 5 сантиметров и занял высокое 5-е место в финале.
Начиная с 2010 года, спортсмен регулярно попадает в состав сборной на крупнейшие международные старты. Выступления получались с переменным успехом. В 2011 году, Александру не удалось пробиться на чемпионате мира из-за 5-го места на национальном чемпионате. Утешением являлось выступление на Универсиаде, где легкоатлету не удалось защитить звание чемпиона, но спортсмен сумел выиграть серебряную медаль с повторением личного рекорда.
Третья в карьере Александра Универсиада, проходившая в городе Казань в 2013 году, успеха не принесла - лишь 5-е место. Неудачным получилось и выступление на другом домашнем турнире сезона, чемпионате мира, где Грипич завершил соревнования в квалификации с результатом 5,40 м. В 2014 году, легкоатлету снова удались прыжки на главных соревнованиях. Командный чемпионат Европы закончился для спортсмена вторым местом, как в индивидуальном зачете, так и в составе сборной.
Зимний сезон 2015 года, являлся одним из лучших в карьере Грипича. Спортсмен впервые завоевал звание чемпиона России, взяв планку с результатом 5,81 м, что являлось личным рекордом прыгуна. На чемпионате Европы в городе Прага, Александр выиграл серебряную медаль соревнований, уступив лишь мировому рекордсмену из Франции Рено Лавиллени.
В феврале 2016 года, Александр Грипич получил травму ахилла на чемпионате России по легкой атлетике в помещении, который проходил в городе Москва. Спортсмен травмировался при разбеге, совершая одну из попыток. Легкоатлетический манеж ЦСКА, в котором проходил чемпионат страны, спортсмен покинул на каталке под аплодисменты зрителей. Позднее, атлет перенес операцию в одной из клиник Финляндии. После продолжительного лечения, Александр приступил к тренировкам в январе 2017 года.