Алексей Грицаенко родился 25 мая 1995 года в городе Владивосток, Приморский край. Еще в детстве мальчику нравилось играть в футбол во дворе с друзьями. Поэтому родители решили записать Алексея в Центр подготовки юных футболистов ФК «Луч-Энергия». Тренировался под руководством детского тренера Малко Константина Александровича.

Команда игроков, за которую выступал Алексей, считалась самой перспективной за всю историю юношеских команд футбольного клуба. Его товарищами по юношеской команде были Руслан Гордиенко, Евгений Белоногов, Владимир Заморока, а также Батрадз Кокоев, Алексей Лупарев, впоследствии пополнившие состав ФК «Луч-Энергия».

Алексей Грицаенко дебютировал в составе клуба 11 марта 2016 года в гостевом матче против ФК «Спартак-2». После того как новым тренером стал Передня Сергей Александрович, начал попадать в состав регулярно, образовав пару центральных защитников с Дмитрием Гузем.

В осенней части сезона 2016/2017 года стал игроком стартового состава. Провел 24 матча, забил три мяча, в том числе победный мяч в игре против одного из лидеров чемпионата - «Тосно». По итогам сезона болельщики признали Алексея одним из лучших игроков команды. За основной состав провел 38 матчей.

В зимнем окне сезона 2016/2017 года привлек внимание нескольких команд Премьер-лиги, включая «Урал», «Спартак», «Зенит», «Амкар», «Томь», а также нескольких команд ФНЛ, включая «Тосно» и «Волгарь». Руководством ФК «Амкар» рассматривался как замена перешедшему в «Спартак» игроку сборной России Георгию Джикия.

В июне 2017 года стало известно, что Алексей перешел в футбольный клуб «Краснодар» контракт был подписан на 3 года.