Андрей Грозов родился 21 февраля 1961 года. В 1983 году, успешно окончил Московский государственный институт международных отношений при Министерстве Иностранных Дел Советского Союза. Трудовую деятельность, молодой специалист начал непосредственно по окончании высшего учебного заведения.
С 1983 года, Грозов работал на различных должностях в центральном аппарате Министерства иностранных дел и за рубежом.
В 1996 году, Андрей Юрьевич получил дополнительное образование, завершив курс обучения в Дипломатической академию Министерства Иностранных Дел России.
Позднее, с 2002 по 2005 год, опытный дипломат являлся старшим советником, а затем, советником-посланником Посольства Российской Федерации в Болгарии.
Далее, в 2005 году, занял пост главного советника. Так же, являлся начальником отдела в Третьем Европейском департаменте Министерства Иностранных Дел России.
С сентября 2009 года, замещал пост Генерального консула Российской Федерации в городе Мюнхен, Федеративная Республика Германия.
Позже, отвечал за общие вопросы сотрудничества в департаменте МИД по СНГ.
Указом Президента Российской Федерации от 17 августа 2018 года, Грозов Андрей Юрьевич назначен на должность Постоянного представителя Росси при уставных и других органах СНГ в городе Минск, Республика Беларусь.
Имеет дипломатический ранг советника 1 класса. Владеет немецким, английским и французским языками.