Андрей Грязев родился 15 февраля 1982 года в городе Москва. С 4 лет занимался фигурным катанием. Мастер спорта по танцам на льду. Участник чемпионатов Мира, Европы и серий Гран-При. C 2002 по 2007 год работал артистом балета в “Театре ледовых миниатюр Игоря Бобрина”. В 2004 году окончил Российский Государственный Университет Физической Культуры по курсу “режиссер театрализованных представлений”. В 2006 году получил красный диплом Школы Телевидения по программе “Режиссёр монтажа”.
Работал главным оператором и режиссёром монтажа в театре “На Таганке” Ю.П.Любимова. В 2008 году окончил Высшие Курсы Сценаристов и Режиссеров - мастерская игрового и документального кино А.Н.Герасимова и А.М.Добровольского.
Автор нескольких короткометражных и полнометражных документальных фильмов. Фильмы Грязева участники более 50 международных фестивалей и обладатели различных призов: «Серебряный кентавр» в Санкт-Петербурге, номинация Российской киноакадемии «Ника», гран-при Артдокфеста и гран-при фестиваля в Кракове. Двукратный лауреат национальной премии «Лавровая ветвь». Второй фильм "День шахтера" стал лучшим фильмом современности на фестивале "Текстура" в Перми.
Третий полнометражный фильм "Завтра" стал первым российским документальным фильмом участником Берлинале в программе Форум. В 2012 году номинирован на Sutherland Award как лучший Европейский режиссерский дебют на 56th BFI London Film Festival.
Состоит в организациях: гильдия кинорежиссеров России, Российская Академия кинематографических искусств «Ника», Союз журналистов. Входит в состав жюри национальной премии Лавровая ветвь в области неигрового кино и телевидения.