Александр Иконников родился 5 апреля 1971 года. Окончил Российский государственный университет нефти и газа имени И.М.Губкина по специальности «разработка нефтяных и газовых месторождений». В дальнейшем получил степень кандидата экономических наук.
После окончания института начал работать в нефтяной компании «ЮКОС». Вскоре стал руководителем отдела по работе с ценными бумагами. Отвечал за развитие отношений с инвесторами и регуляторами.
В 1997 году возглавил департамент внешнеэкономических связей и привлечения инвестиций в Министерства топлива и энергетики, где занимался межправительственными соглашениями, привлечением инвестиций и взаимодействием с международными финансовыми организациями.
До 2002 года работал заместителем председателя правления в Национальной ассоциации участников фондового рынка. Выступил одним из основателей Ассоциации защиты прав инвесторов, объединяющих российских и международных портфельных инвесторов. В качестве исполнительного директора обеспечивал коллективные действия по защите прав миноритарных акционеров.
В 2002 году избран председателем наблюдательного совета «Ассоциации независимых директоров» - крупнейшего российского объединения директоров.
C присоединением в 2015 году АНД к Глобальной сети директорских институтов, объединяющей 120 000 членов по всему миру, Александр Иконников вошел в правление глобальной организации и комиссию по стратегии, которая занимается созданием и продвижением мировых стандартов управления.
В 2010 году Александр Иконников стал первым российским экспертом, удостоенным международной награды «Восходящая звезда корпоративного управления» Йельской школы менеджмента за вклад в развитие международных стандартов управления.
Имеет высшую международную квалификацию «подтвержденный директор» Британского института директоров.
В феврале 2011 года журнал «Эксперт» назвал Александра Иконникова «системообразующей фигурой в пространстве корпоративного управления».