Александр Каньшин родился 14 июня 1956 года в Республике Азербайджан. С 1958 года проживал в станице Марьинская Ставропольского края. В 1977 году окончил Орджоникидзевское высшее общевойсковое командное дважды Краснознаменное училище имени Маршала Советского Союза А.И. Еременко. Позднее получил дополнительное образование в Военно-политической академии имени В.И. Ленина.
После учебы Каньшин проходил службу в должности секретаря комитета ВЛКСМ батальона курсантов. Работал помощником начальника политического отдела по комсомольской работе училища. Занимал пост заместителя Командира полка по политической части.
С 1985 по 1993 года являлся помощником начальника политического управления по комсомольской работе Северо-Кавказского военного округа. В 1993 года уволен из рядов ВС РФ по выслуге лет и стал полковником запаса.
В 1997 году Александр Каньшин вступил в должность Председателя Совета директоров Национальной Ассоциации объединений офицеров запаса Вооруженных Сил РФ.
В 2000 году успешно защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора философских наук в Военном Университете на тему: «Духовные основы социального управления».
С 2007 по 2010 года занимал пост Председателя Комиссии Общественного совета при Министерстве обороны Российской Федерации по повышению безопасности военной службы, укреплению правопорядка и воинской дисциплины. С декабря 2010 года избран заместителем Председателя Общественного совета при Министерстве обороны.
Указом Президента Российской Федерации от 3 мая 2007 года Александр Николаевич утвержден членом Общественной палаты РФ I созыва. Позднее избран заместителем Председателя Комиссии Общественной палаты РФ по общественному контролю за силовыми структурами, правоохранительными органами и реформированием судебно-правовой системы.
В сентябре 2007 года Александра Николаевича вновь утвердили членом Общественной палаты России II созыва. С 23 января следующего года, в течении двух лет, возглавлял Комиссию Общественной палаты РФ по делам ветеранов, военнослужащих и членов их семей.
С 2010 года занимает пост Председателя Совета директоров Национальной Ассоциации объединений офицеров запаса Вооруженных Сил РФ. Является действительным членом Академии военных наук.
Каньшин награжден орденом «За службу Родине в ВС СССР» III степени и медалями Российской Федерации. Отмечен наградами зарубежных стран и высшими наградами Республики Северная Осетия-Алания, Волгоградской, Калужской, Московской областей и орденом Русской православной церкви.