Анатолий Карибов родился 2 июня 1955 года в городе Махачкала, Республика Дагестан. В 1976 году, окончил Дагестанский государственный университет. В период с 1972 по 1976 год, работал переводчиком английского языка на Бхилайском металлургическом заводе, находящемся Индии.
В 1978 году, Карибов занял должность заместителя секретаря комитета ВЛКСМ дагестанского государственного педагогического института, расположенного в родном городе. С 1979 по 1982 год, являлся вторым секретарем Махачкалинского горкома ВЛКСМ. В 1982 году назначен на пост первого секретаря Ленинского райкома ВЛКСМ, секретаря парткома завода «Стекловолокно».
С 1983 года, Анатолий Карибов занимал должность секретаря, а затем, первого секретаря Дагестанского общественного комитета ВЛКСМ. В 1990 году, партийный деятель получил дополнительное образование, успешно окончив Дагестанский сельскохозяйственный институт по специальности «экономист». С 1991 года, замещал должность председателя Союза демократической молодежи Республики Дагестан.
В 1992 году, Анатолий Шамсутдинович возглавил Центр международных обменов в городе Махачкала. В период с 1994 по 1998 год, являлся заместителем председателя Комитета Правительства РД по делам молодежи и туризму. В 1998 году, Карибов занял пост исполняющего обязанности руководителя, Секретариата Председателя Правительства Республики Дагестан.
С 2002 по 2006 год, работал заместителем министра по делам молодежи и туризму Дагестана. В 2006 году, перешел на должность первого заместителя министра культуры и туризма Республики Дагестан. В начале августа 2008 года, Анатолий Карибов назначен руководителем Агентства по туризму РД. Занимал вышеуказанную должность до февраля 2013 г.
Должность временно исполняющего обязанности премьер-министра Республики Дагестан, Карибов Анатолий Шамсутдинович занял 5 февраля 2018 года, сменив на посту арестованного по подозрению в мошенничестве Абдусамада Гамидова.
Через два дня назначен Первым заместителем Председателя Правительства Республики Дагестан.
Женат, имеет троих детей.