Александр Касьянов родился 30 сентября 1983 года в городе Братск, Иркутская область. Первое время занимался санным спортом, но не добился в этой дисциплине сколько-нибудь значимых результатов, поэтому в 2006 году решил попробовать себя в бобслее, спустя некоторое время прошел отбор в национальную команду и присоединился к ней в качестве пилота.
Долгое время соревновался на молодежном уровне, например, в 2008 году завоевал бронзу на чемпионате мира среди юниоров, а шанс закрепиться во взрослой сборной получил в январе 2009 года, когда на этапе Кубка мира в немецком Кенигсзее вышел на трассу вместо травмировавшегося Евгения Попова. Тем не менее, занял он там лишь двадцатое место.
В 2010 году в команде вновь возникла проблема с рулевыми, поскольку Попов карьеру завершил, а Дмитрий Абрамович получил травму, в связи с чем у Касьянова появилась еще одна возможность проявить себя. С тех пор он надежно обосновался в числе основных пилотов сборной, на этапах Кубка мира практически всегда попадал в десятку лучших, лидер команды Александр Зубков назвал его будущим российского бобслея.
В 2014 году на Олимпийских играх в Сочи занял 4 место в двойках и четверках. До бронзовой медали не хватило всего 0.03 секунды в обеих дисциплинах.
Решением Международного олимпийского комитета 29 ноября 2017 года за нарушение антидопинговых правил результаты полученные Касьяновым Александром на Олимпийских игр 2014 года в Сочи аннулированы, также спортсмен пожизненно отстранен от участия в Олимпийских играх.