Александр Катков родился 11 октября 1948 года в городе Южно-Сахалинск. В детстве рос артистичным мальчиком, в связи с этим к окончанию школы принял решение стать актером. После школы учился в Хабаровском театральном училище. Затем, в течение трех лет, работа в Хабаровском краевом Театре юного зрителя. Служил в армии на советско-китайской границе.
С 1973 по 1980 года выступал в Красноярском Театре юного зрителя. Работу успешно совмещал с учебой в Красноярском колледже искусств имени П.И. Иванова-Радкевича.
В период с 1983 по 1987 года Катков играл в Вологодском государственном драматическом театре и Свердловском академическом театре драмы. В это же время заочно учился на режиссерском отделении в Санкт-Петербургском государственном институте культуры, затем в Уральской консерватории на курсах подготовки режиссеров-педагогов.
Александра Алексеевича в 1987 году пригласили в Краснодарский академический театр драмы. За короткий промежуток времени Катков стал одним из ведущих артистов театра. На счету актера роли в спектаклях «Комедиант и король», «Капитанская дочка», «Маленькие трагедии», «Игроки», «Евангелие от Воланда», «Пролетая над гнездом кукушки» и другие.
Творческая многогранная одаренность и желание поделиться профессией привели Каткова в педагогику. За годы работы в городе Краснодар воспитал несколько поколений молодых артистов. Катков сам неоднократно выступал в качестве режиссера-постановщика спектаклей, неизменно пользующихся успехом у зрителей: «Двое на качелях», «Тартюф», «Зимняя сказка», «Пизанская башня».
За большой вклад в развитие искусства Александр Катков удостоен Почетного звания «Заслуженный артист России».