В 1992 году молодой человек окончил факультет физического воспитания Майкопского педагогического института. Позднее получил дополнительное образование окончив юридический факультет Адыгейского государственного университета.
В 1995 году ему было присвоено звание заслуженного мастера спорта России по самбо.
Хасанов Мурат является 11-кратным чемпионом мира - 1994, 1995, 1998 - 2006 годы, серебряный призёр чемпионата мира 1997 года, бронзовый призёр чемпионата мира 1996 года, Чемпион России по самбо 1997 и 2004 года, бронзовый призёр чемпионата СНГ по дзюдо 1992 года. Полтора десятка лет являлся капитаном сборной команды России по самбо. С 1997 года и до завершения спортивной карьеры не потерпел ни одного поражения. Многократно признавался лучшим самбистом России.
Мурат Русланович 17 января 2007 года назначен председателем Комитета по физической культуре и спорту Республики Адыгея. Участвовал в эстафете олимпийского огня 2014 года.
На выборах 18 сентября 2016 года Хасанов Мурат Русланович избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Член фракции «Единая Россия». Член комитета ГД по физической культуре, спорту, туризму и делам молодежи.
Женат. Супруга Саида - филолог. Два сына и дочь.
Увлекается охотой, рыбалкой и разведением лошадей.