Алексей Хвостенко родился 14 ноября 1940 года в городе Свердловск, Украина. Учился в английской спецшколе города Санкт-Петербург. После школы работал в зоопарке и Большом драматическом театре имени Г.А. Товстоногова художником по рекламе.
В начале 1960-х годов Хвостенко увлекался живописью и современным искусством. Учился в Высшей школе искусств, затем, решив стать режиссером, окончил Санкт-Петербурскую государственную академию театрального искусства.
В 1963 году Алексей Хвостенко создал литературную группу «Верпа».
В 1965 году опубликовал в журнале «Самиздат» первую книгу «Подозритель». Позднее вошел в содружество «Хеленукты».
В 1968 году переехал в город Москва, стал активным деятелем столичного художественного андеграунда. Создал минималистскую поэму «Я живу в Измайловском зверинце», писал картины, сочинял и публиковал стихи и песни.
В 1977 году эмигрировал во Францию. Жил в Париже, где продолжал заниматься живопись, издавал стихи, исполнял их под гитару, ставил спектакли, занимался рекламой, организацией выставок. Позднее поставил пьесу М. Горького «На дне», в формате мюзика, сам сыграл роль Луки и исполнял песни. Вместе с В. Марамзиным издавал журнал «Эхо».
В конце 1970-х годов Алексей Хвостенко выпустил в Лондоне пластинку «Прощание со степью» и записал альбом «Последняя малина». Позднее снялся вместе с группой «ПМитьки» в фильме «ПМитьки в Париже».
В декабре 1990 года вернулся в город Сакнт-Петербург и дал серию концертов в сопровождении музыкантов группы «АукцЫон».
В 1991 году в городах Москва и Париж выпустил сборник стихов «Черный квадрат».
С середины 1990-х годов Алексей выступал с концертами и выпускал альбомы в России. Записал несколько альбомов с группой «АукцЫон», в том числе альбом на стихи В. Хлебникова «Жилец Вершин» и альбом «Чайник вина».
Во второй половине 1990-х годов Хвостенко стал вице-президентом Ассоциации русских художников во Франции, а также возглавлял собственный клуб «Symposion», в котором выступали многие российские и западные музыканты.
Осенью 1997 года записал в городе Нью-Йорк альбом «Завтра потоп», ряд песен пластинки звучат в джазовой аранжировке. Алексей Хвостенко является автором книг «Подозритель (2-й сборник Верпы)», «Поэма эмигрантов», «Страна деталия».
В 2003 году провел несколько концертов в городах Москва и Санкт-Петербург, записал совместно с группой deГЕНЕРАТОРs диск «Могила-live», выступил дуэтом с гитаристом Алексеем Батусовым в городах Санкт-Петербург, Москва и Саратов.
В апреле 2004 года Хвостенко выступил на VIII фестивале «S.K.I.F.» в сопровождении группы deГЕНЕРАТОРs, позже начал работу над новым студийным альбомом под рабочим названием «Рай», занимался подготовкой и проведением разнообразных художественных проектов.
Алексей Хвостенко скончался 30 ноября 2004 года. Похоронен в городе Москва.