Игорь Киреев родился 17 февраля 1992 года в городе Железногорск, Курской Области. воспитанник школы московского «Спартака». В возрасте 16-ти лет он был включен в состав взрослой команды клуба. В январе 2010 года Киреев начал тренироваться с основным составом «красно-белых», куда его пригласил главный тренер клуба Валерий Карпин.

В 2010 года в матче 1 тура чемпионата России против московского «Динамо» Киреев дебютировал за основной состав «Спартака», выйдя на поле на 64 минуте встречи вместо Евгения Макеева. Первый матч вышел неудачным для Игоря: при создании искусственного офсайда он «задержался», после чего игрок «Динамо» Игорь Семшов получил мяч и забил единственный в игре гол. 20 марта в игре дублирующих составов «Спартака» и петербургского «Зенита» Киреев получил подвывих ключицы, из-за чего выбыл из строя на месяц.

В августе 2012 года подписал трехлетнее соглашение с «Ростовом».

В 2014 году 17 февраля перешел на правах аренды в «Спартак-Нальчик». 29 июля 2014 года Киреев также на правах аренды на один год перешел в «Амкар».

В конце апреля получил тяжелую травму связок колена. Поехал в Германию, где была сделана операция по замене связок на искусственные. Выбыл не меньше чем на полгода. 30 ноября 2015 года дебютировал за «Ростов» в матче против «Краснодара», выйдя на 93 минуте. 19 октября 2016 года провел свой первый матч в Лиге Чемпионов, отыграв все 90 минут в матче с «Атлетико Мадрид».