Александр Климов родился 22 августа 1956 года в селе Кутузовка, Хабаровского края. Окончил среднюю школу. В Вооруженных Силах СССР с 1973 года. В 1977 году окончил Сызранское высшее военное авиационное училище летчиков. Служил в авиации Сухопутных войск.

В период с 1982 по 1983 год, Климов принимал непосредственное участие в боевых действиях в составе ограниченного контингента советских войск на территории Дружественной Республики Афганистан. Службу проходил в должности командира авиационного отряда. В общей сложности, Александр Климов совершил 980 боевых вылетов на нанесение огневых ударов по бандформированиям, на эвакуацию раненых и погибших военнослужащих.

В одном из боев, под огнем врага принял на борт и вывез окруженную разведгруппу. Вертолет Климова пять раз получал серьезные повреждения, но каждый раз благодаря мастерству пилота возвращался на аэродром. В 1985 году рекомендован на летно-испытательную работу. В 1986 году, получил дополнительное образование, успешно окончив Центр подготовки летчиков и штурманов - испытателей ВВС.

С 1986 по 1994 год, Климов занимал должность старшего летчика-испытателя Государственного Краснознаменного научно-исследовательского института имени Валерия Павловича Чкалова. В 1994 году в звании подполковника уволен в запас. После увольнения, учитывая огромный опыт, Александр Михайлович приглашен на работу летчиком-испытателем в открытое акционерное общество «Московский вертолетный завод имени Миля». На данной должности выполнил свыше 30 опытных и исследовательских работ. Лично освоил несколько десятков типов вертолетов и их модификаций.

Наибольшее количество испытательных полетов, Климов выполнил на Ми-2, Ми-4, Ми-8, Ми-10, Ми-24, Ми-26, Ми-28, Ми-34. К августу 2006 года имел летный налет в 5100 часов, из них 1700 часов испытательных полетов на вертолетах. Являлся одним из пионеров освоения высшего пилотажа на вертолетах Ми-34 и Ми-28.

Указом Президента Российской Федерации от 16 ноября 2006 года, за мужество и героизм, проявленные при испытаниях новой авиационной техники, старшему летчику-испытателю Климову Александру Михайловичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда».

     Продолжает испытательную работу в ОАО «Московский вертолетный завод имени Миля». Живет в городе-герое Москва. Занимается также инструкторской и методической работой по обучению сложных видов летной подготовки, посадкам на режиме самовращения винта, методикам летных испытаний.

Полковник запаса. Имеет государственные награды и знаки отличия. Заслуженный летчик-испытатель Российской Федерации.