Сергей Клячин родился 20 ноября 1986 года в городе Чайковский Пермской области. Мальчик попал в секцию по лыжным гонкам в возрасте семи лет, когда его пригласили тренеры, набиравшие в школах перспективных детей. Сергей привлек внимание ростом и спортивной фигурой. С юного возраста он отличался настойчивостью, упорством и волей к победе, зарабатывая призовые места на различных соревнованиях. В 16 лет Сергей Клячин уже получил звание мастера спорта по лыжам.

В 2005 году на Сергея обратил внимание заслуженный тренер России Иннокентий Каринцев, предложивший мальчику заняться биатлоном. На счету Каринцева ни одно поколение спортсменов, а биатлонная школа в Чайковском считается наиболее сильной в России. Сергей с радостью согласился.

В 2008 году Сергей впервые выступил на чемпионате России в составе сборной Пермского края, занявшей тогда первое место. В 2009 году Клячин становится чемпионом России в эстафетных гонках. Затем на счету молодого спортсмена было участие в соревнованиях на Кубок Европы в Австрии, Италии, Канаде, Словакии.

Дебют спортсмена на кубке мира состоялся в сезоне 2011-2012 года в Ханты-Мансийске. 2012 год стал годом высоких достижений для Сергея Клячина. В январе Сергей занял третье место в спринтерской гонке на чемпионате Европы, проходившем в Словакии. По результатам чемпионата Сергею было присвоено звание мастера спорта международного класса. На прошедшем в феврале 2012 года кубке Европы молодой биатлонист занимает второе место в спринте.

На проходивших в Ижевске гонках «Ижевская винтовка» в рамках Кубка России по биатлону Сергей Клячин одержал уверенную победу в спринте.

Является мастером спорта международного класса. Входит в состав команды сборной России.