Анатолий Кочнев родился 31 мая 1955 года в селе Парусное, Сахалинская область. В раннем возрасте переехал вместе с родителями в город Корсаков. С юности активно занимался самбо, дзюдо, каратэ, тхэквондо. В 1981 году окончил Омский государственный институт физической культуры по специальности «преподаватель физического воспитания - тренер по борьбе самбо». Позднее получил дополнительное образование в Дальневосточном государственном университете по специальности «правоведение».

В городе Корсаков Кочнев на общественных началах создал два клуба военно-патриотической и спортивной направленности - «Единство» и «Молодая гвардия». Занимал должность генерального директора общества с ограниченной ответственностью «Сахалинские нефтегазовые технологии». Позднее являлся директором по взаимодействию с правительственными органами и партнерами отдела управления проектом филиала корпорации «Флуор Дэниел Евразия Инк».

В 1998 году Анатолий Кочнев окончил Новосибирскую государственную академию экономики и управления по специальности «финансы и кредит». Затем получил образование в Тихоокеанском государственном университете по специальности «промышленное и гражданское строительство».

В сентябре 2017 года Анатолий Анатольевич избран депутатом Сахалинской областной Думы VII созыва. Является Председателем постоянного комитета по экономическому развитию. Входит в состав постоянных комитетов по бюджету и налогам, по государственному строительству, регламенту и местному самоуправлению, по спорту, туризму и молодежной политике. Член Всероссийской политической партии «Единая Россия».

Анатолий Кочнев является учредителем Федерации самбо Сахалинской области.