Константин Коккинаки родился 11 марта 1910 года в городе Новороссийск. Брат известного летчика-испытателя Владимира Константиновича Коккинаки. Работал грузчиком в порту, матросом, матросом-спасателем. С января 1930 года служил в Красной армии. В 1932 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу летчиков. Служил в строевых частях Военно-воздушных сил.

С 1936 по 1939 года Коккинаки проходил службу в должности летчика-испытателя военной приемки авиазавода №1 города Москва. Испытывал серийные самолеты Р-5, Р-7, ДИ-6, И-15 бис, И-153. С августа 1938 по март 1940 года уехал в специальную командировку в Китае, участвовал в боевых действиях против японских войск в должностях заместителя командира, командира истребительной авиагруппы, затем военного советника по истребительной авиации. Выполнил 166 боевых вылетов на истребителе И-153, сбил лично 3 и в группе 4 самолета противника. 

В Великой Отечественной войны с июня 1941 года участвовал в должности заместителя командира 401-го истребительного авиационного полка особого назначения на Западном фронте, сформированного из летчиков-испытателей. После гибели С.П. Супруна, 4 июля 1941 года возглавлял полк до августа того же года.

Константин Коккинаки совершил 98 боевых вылетов на истребителе МиГ-3. Отозван с фронта, облетывал поставляемые по государственной программе Ленд-лиз английские истребители «Томагавк» в городе Архангельск. С 1951 по 1964 года состоял на летно-испытательной работе в Отдельном конструкторском бюро А.И. Микояна. В 1964 году ушел с испытательной работы. Работал в ОКБ А.И. Микояна на должностях: летчика транспортного отряда ОКБ, ведущего инженера в отделе летных испытаний, старшего инженера. Удостоен воинского звания полковник.

Выполнял большую общественную работу по военно-патриотическому воспитанию молодежи. Многократно выезжал в отдаленные воинские части и встречался с летчиками, моряками, танкистами и пограничниками. Установил 2 мировых авиационных рекорда, из них 1 абсолютный.

Коккинаки Константин Константинович умер 4 марта 1990 года. Похоронен на Кузьминском кладбище в городе Москва.

За заслуги перед Отечеством удостоен Почетного звания Герой Советского Союза. Награжден трижды орденами Ленина и орденами Отечественной войны 1 степени, дважды орденами Красного Знамени и Красной Звезды, орденом Дружбы народов, многими медалями, в том числе медалью де Лаво.