Вячеслав Копьев родился 6 апреля 1954 года в городе Москва. В 1977 году окончил факультет кибернетики Национального исследовательского ядерного университета «Московский инженерно-физический институт». Позднее получил диплом юриста в Российской академии управления и экономиста в Международной академии маркетинга и менеджмента.

В 1977 году Копьева с должности старшего инженера МИФИ направили на комсомольскую работу в Красногвардейский районный комитет ВЛКСМ.

С 1980 по 1989 года являлся заместителем Председателя Московского городского совета молодых ученых и специалистов и Московского городского совета по развитию научно-технического творчества молодежи при исполнительном комитете Московского городского совета.

В 1982 и 1994 годах успешно защитил диссертации на соискание ученых степеней кандидата технических и юридических наук.

В 1989 году Вячеслава Всеволодовича избрали Первым секретарем Московского городского комитета. В следующем году стал вторым секретарем Центрального комитета. С 1989 года занимал руководящие должности в правлении Союза научных и инженерных обществ.

С 1990 по 1997 года является Председателем совета директоров АО «Спутник».

С 1992 по 1997 года занимал пост Директора по международным связям и инновационной деятельности. В 1995 году назначен заместителем Председателя исполнительного комитета Российско-Британской Торгово-промышленной палаты. В 1997 году Копьев стал Вице-президентом Акционерной финансовой корпорации «Система».

Вячеслав Всеволодович с 2000 по 2003 года занимал должности старшего Вице-президента, руководителя Комплекса формирования внешней бизнес-среды. С 2003 года является Заместителем Председателя Совета директоров АФК «Система», Председатель Совета директоров ОАО СММ, ВАО «Интурист» и ИД «Литературная газета». Входит в состав Совета директоров ИА «Росбалт», ОАО «Гостиничный комплекс «Космос» и ЗАО «Стрим-Контент».

В 2003 году избран Президентом Союза регбистов России. В следующем году на Генеральной Ассамблее Европейской Ассоциации регби FIRA - AER назначен Вице-президентом FIRA - AER. 

Копьев входил в организационный комитет по подготовке к Кубку Мира по регби-7 2013 года в городе Москва. Является автором более 70 научных трудов.

За заслуги в профессиональной деятельности награжден орденом Дружбы. Кавалер Золотого Почетного знака «Общественное признание».