Вадим Коробов родился 15 февраля 1927 года в городе Вологда. В детские годы жил в Архангельской области, учился в Березниковской средней школе и Соловецкой школе юнг Военно-Морского Флота. С 1946 года начал службу в Военно-Морском Флоте. В 1953 году окончил Высшее военно-морское училище подводного плавания имени Ленинского комсомола.
Во окончании училища Коробов служил на Северном флоте. Будучи старшим помощником командира дизельной подводной лодки «Б-67» проекта 611, 16 сентября 1955 года принимал непосредственное участие в первом пуске советской баллистической ракеты морского базирования «Р-11ФМ». В 1957 году командовал дизельной подводной лодкой «С-146» проекта 613, на которой успешно испытана первая советская морская крылатая ракета «П-5».
В 1964 году после окончания Военно-морской академии Вадим Константинович назначен командиром атомной подводной лодки «К-33» проекта 658. С 1968 года являлся начальником штаба 31-й Краснознаменной дивизии подводных лодок Краснознаменного Северного флота. В этой должности в 1971 году принимал участие в походе на Северный полюс на борту ракетного подводного крейсера стратегического назначения.
С 1972 года Вадим Коробов командовал 19-й и 41-й дивизиями подводных лодок, а в октябре 1974 года назначен на должность начальника штаба 11-й флотилии подводных лодок Краснознаменного Северного флота. В начале 1976 года возглавил тактическую группу, состоящую из двух подводных лодок РПКСН «К-171» проекта 667-б и торпедной атомной подводной лодки «К-469» проекта 671. Задача группы - совершить переход без всплытия с Северного флота на Камчатку вокруг Южной Америки через Атлантический и Тихий океаны.
За успешное выполнение заданий командования и проявленные при этом мужество и отвагу указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 мая 1976 года контр-адмиралу Коробову Вадиму Константиновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В том же году Коробову присвоено воинское звание «вице-адмирал» и назначен командующим 3-й флотилией подводных лодок Краснознаменного Северного флота. С 1981 по 1985 год являлся начальником штаба Краснознаменного Северного флота. В 1986 году стал адмирал-инспектором Главной военной инспекции Министерства Обороны СССР.
С 1989 года адмирал Вадим Коробов находился в запасе, а затем в отставке. Жил в Москве.
Скончался Вадим Константинович Коробов 12 апреля 1998 года в возрасте семидесяти одного года. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Золотая Звезда Героя Советского Союза
Орден Ленина
Орден Октябрьской Революции
Орден Красного Знамени
Орден Отечественной войны I степени
2 ордена Красной Звезды
Медали
Имя В. К. Коробова присвоено рабочему буксиру «РБ-331», работающему на реках Вологде, Сухоне, Кубенском озере.