Алексей Коровашков родился 1 апреля 1992 года в городе Степногорск, Украина. Спустя три года семья переехала в Бендеры Приднестровской Молдавской Республики. Окончил бендерскую среднюю школу № 1 имени А.В.Суворова.

Активно заниматься греблей начал в возрасте десяти лет под руководством тренера Е.С.Логвина в Бендерской школе гребли, затем некоторое время тренировался в Тирасполе под руководством В.Г.Соколенко. Позже проходил обучение в Государственном училище олимпийского резерва.

С 2006 года стал попадать в состав молодежной сборной России и получил возможность принимать участие в крупнейших международных стартах. В течение трех последующих лет завоевал восемь золотых медалей на юниорских европейских первенствах и пять на мировом. C 2009 года выступает в составе взрослой сборной России. В 2008 и 2009 годах становился победителем первенства России.

На чемпионате мира 2009 года в Москве Алексей на каноэ-двойке снова опередил всех соперников в гонках на 500 и 1000 м и на каноэ-одиночке на 1000 м, причем медали на сей раз получал из рук посетившего соревнования президента Дмитрия Медведева. А в 2010 и 2012 - чемпионом России. Настоящая известность пришла к Алексею Коровашкову в 2011 году, когда он сначала завоевал золото на чемпионате Европы в Белграде, победив в километровой гонке в каноэ-двойке, а потом выиграл золотую медаль на мировом первенстве в венгерском Сегеде, где финишировал первым в эстафете на одиночках 4×200 м.

В мае 2012 года был удостоен звания заслуженного мастера спорта России и летом в паре с Ильей Первухиным отправился защищать честь страны на Олимпийские игры в Лондон. Несмотря на неудачный старт во время финальной гонки на 1000 метров, им удалось догнать лидеров и занять третье бронзовое место.

В 2013 году на чемпионате Европы по гребле на байдарках и каноэ, проходящем в португальском городе Монтемор-у-Велью, стал двукратными чемпионом Европы в гребле на байдарках и каноэ.

Помимо обычного каноэ на гладкой воде Коровашков увлекается еще и горным слаломом, но пока только на любительском уровне. Также служит рядовым в полиции, является старшим инструктором по физической подготовке и спорту спортивной команды при управлении Центрального регионального командования внутренних войск МВД России.

В 2014 году на чемпионате мира по гребле и каноэ, проходившем в Москве, спортсмен взял золото в дисциплине каноэ-двоек на дистанции 200 метров.

В 2015 году на Первых европейских играх спортсмен завоевал серебряную медаль в дисциплине каноэ-двоек на дистанции 1000 метров. На чемпионате Европы того же года он завоевал две золотые медали с Иваном Штылем в каноэ двойке на дистанциях 200 и 500 метров, а также серебро на дистанции 1000 метров в двойке с Ильей Первухиным. На чемпионате мира в Милане Алексей завоевал для российской команды Олимпийскую лицензию, став четвертым в одиночке на дистанции 200 метров. В двойке с Иваном Штылем этой дистанции Коровашков завоевал свое пятое золото чемпионата мира.