Андрей Костицын родился 3 февраля 1985 года городе Новополоцк, Республика Беларусь. В сдетства увлекался спортом. Воспитанник новополоцкой детско-юношеской хоккейной школы.
За национальную сборную Республики выступает с 2002 года. Принимал участие в Чемпионатах Мира 2003 и 2004 годов в первом дивизионе; 2005, 2006, 2008, 2012, 2014 годов в составе сборной.
По состоянию на конец сезона 2010/2011 года провел в регулярных Чемпионатах Национальной хоккейной лиги 326 игр, в которых набрал 186 (87+99) очков.
В феврале 2012 года «Монреаль Канадиенс» обменял Андрея Костицына в «Нэшвилл». Компенсацией за Костицына стали выбор во втором раунде драфта и условный выбор на драфте 2013 года. В 2012 году вернулся в Россию в ХК «Трактор», где стал финалистом Кубка Гагарина.
В октябре 2014 года «Трактор» выставил белорусского форварда на драфт отказов. А по истечении отведенного регламентом времени предложений по переходу не последовало и «Трактор» отказался ссылать Костицына в фарм-клуб.
После успешного выступления Сборной Беларуси в мае 2014 года на Чемпионате Мира в городе Острава, где Андрей был одним из лучших бомбардиров, появилась информация, что спортсмен может заключить контракт с клубом НХЛ. Перешел в Торпедо.
С 2017 года выступает за китайский ХК «Куньлунь Ред Стар». Ранее играл за клуб «Сочи».