Александр Костоглод родился 31 мая 1974 года в городе Ростов-на-Дону. Начал заниматься греблей на байдарках и каноэ в подростковом возрасте благодаря своему первому тренеру - Александру Львовичу Абрамянцу.
Спортсмену было 15 лет, когда Абрамянц посетил школу, в которой учился Александр Костоглод, и рассказал о наборе в секцию - юноша решил попробовать свои силы в этом виде спорта. На протяжении всей своей карьеры он занимается у Александра Абрамянца, и проходит вместе с ним подготовку ко всем спортивным мероприятиям в стране и за границей.
На Олимпийских играх Александр дважды завоевывал серебряные медали в 2004 году в каноэ-двойке на дистанции 1000 метров и 2008 году в двойке на дистанции 500 метров. В 2004 году в Афинах Александр стал также бронзовым призером в каноэ-двойке на дистанции 500 метров. Александр принимал участие в Олимпийских играх 1992 и 2000 годов.
На чемпионатах мира Александр Костоглод 6 раз становился чемпионом, 5 раз серебряным призером и 7 раз бронзовым в каноэ-двойках и четверках на различных дистанциях.
Живет в Ростове-на-Дону. Жена Татьяна, сын Артем, дочь Ольга, вторая дочь Александра.