Андрей Козенко родился 3 августа 1981 года в городе Симферополь, Республика Крым. В 1998 году выпустился из симферопольской школы № 3. В 2000 году с отличием окончил Крымский колледж экономики и управления, получив квалификацию «Экономист-правовед».

В 2001 году устроился на работу в Отдел государственной службы охраны при районном отделении внутренних дел Железнодорожного района Симферополя, где трудился до 2003 года. В том же году вступил в Русскую общину Крыма. Принимал участие в работе предвыборного штаба кандидатов в депутаты всех уровней от Русской общины Крыма. В 2002 году с отличием окончил Крымский институт экономики и хозяйственного права по специальности «Экономика». 

В 2002 году инициировал возобновление деятельности Симферопольской организации Русского молодежного центра Крыма, а в 2003 году был избран ее председателем. В марте вошел в состав президиума этой организации, постановлением III Съезда Русской молодежи Крыма был избран Председателем Русского молодежного центра Крыма. В том же году вступил в партию «Русский блок», стал членом политсовета ее Крымской республиканской организации.

Параллельно общественно-политической деятельности с 2003 года по 2007 год, а затем в 2008-2009 годах Андрей Козенко возглавлял предприятие «Русский дом», которое занималось арендой и управлением недвижимостью. В разрыве с 2007 года по 2008 год был заместителем директора ООО «Эколого-туристический центр в Парковом». В 2009 году окончил Институт Таврического национального университета по специальности «Политология».

В 2004 году избирается членом правления Международной ассоциации молодежных организаций российских соотечественников, созданной при поддержке правительства Москвы. Работает на общественных началах помощником депутата Верховного совета Крыма и Симферопольского городского совета Цекова Сергея Павловича. Инициатор проектов Русского молодежного центра Крыма, бизнес-проектов Русской общины Крыма «Русский дом».

С 26 марта 2006 года по 2010 год является депутатом Верховного совета Республики Крым пятого созыва. Был избран по спискам блока «За Януковича!», в который накануне выборов вошла партия «Русский блок», став самым молодым депутатом Верховной Рады АРК V созыва. Членом постоянных комиссий: по экономической, бюджетно-финансовой и налоговой политике; по науке и образованию; по культуре, делам молодежи и спорту; по межнациональным отношениям и проблемам депортированных граждан; контрольной комиссии по вопросам приватизации. Также был членом коллегии Фонда имущества Автономной Республики Крым. 

С января по октябрь 2009 года Андрей Козенко занимает должность заместителя Министра труда и социальной политики Автономной Республики Крым. В декабре вступает во Всекрымское общественно-политическое движение «Русское единство», а в январе 2010 года становится лидером ее молодежного движения «Молодые за Русское единство». С декабря 2010 года по апрель 2011 года занимает пост председателя Крымской республиканской партии.

С марта по ноябрь 2010 года Козенко заместитель председателя Совета министров Автономной Республики Крым. С марта 2011 года по сентябрь 2012 года - директор ООО «А-Профи Крым». Первого октября 2012 года избирается на пост председателя исполкома Русской общины Крыма, занимая эту должность по август 2014 года. Принимал участие в крымских событиях в феврале- марте 2014 года, которые предшествовали воссоединению Крыма с Россией. В марте получает паспорт гражданина Российской Федерации.

В апреле 2014 года Андрей Козенко вступает в партию «Единая Россия». Становится заместителем секретаря Крымского регионального отделения партии. Член регионального политического совета Крымского регионального отделения «Единой России». С сентября 2014 года по сентябрь 2016 года является заместителем председателя Государственного совета Республики Крым. Был избран по итогам выборов 19 сентября 2014 года по республиканскому избирательному округу от Крымского регионального отделения Всероссийской политической партии «Единая Россия». В 2015 году был награжден медалью «За защиту Республики Крым».

На выборах 18 сентября 2016 года Козенко Андрей Дмитриевич был избран Депутатом Государственной Думы VII созыва от избирательного округа 0019 - Симферопольский - Республика Крым. Член фракции «Единая Россия». Член Комитета ГД по финансовому рынку. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.

С марта 2017 года Козенко координатор Интеграционного комитета «Россия - Донбасс». Еще в июне 2016 года он, как заместитель председателя Русской общины Крыма, был официальным представителем движения «Донецкая Республика» в Республике Крым, а в декабре вошел в состав Комитета поддержки жителей Юго-Востока Украины при Совете Федерации.