Алексей Козлов родился 25 декабря 1986 года в городе Петрозаводск, Республики Карелия. Козлов - воспитанник футбола Набережных Челнов, куда переехал с семьей в раннем возрасте из Петрозаводска. Заниматься футболом начал в челнинской команде «Заря», где его тренером был Геннадий Кадыльский. В 9-м классе подписал свой первый контракт, когда отправился в нижнекамский «Нефтехимик». В 16 лет переехал в Германию, где продолжил обучение в юношеской команде «Гамбурга». С 2004 по 2006 годы выступал за команду «Бергедорф 85» из Бергедорфа в Оберлиге «Север». Затем, с июля по сентябрь 2006 года находился в составе команды «Любек», выступавшей в Региональной лиге «Север».

В 2007 году вернулся в Россию, где и начал профессиональную карьеру, пополнив в августе ряды клуба Первого дивизиона «КАМАЗ», в том сезоне сыграл за челнинский клуб 2 матча. Следующий год тоже провел в «КАМАЗе», принял участие в 14 играх, в которых забил 1 мяч, в первенстве и еще 1 встречу сыграл в Кубке России. В том сезоне добился, вместе с командой, первого в карьере серьезного успеха - 3 места в Первом дивизионе.

В сезоне 2009 года Алексей закрепился в основном составе, провел за «КАМАЗ» 32 матча и забил 1 гол в первенстве, и еще 1 встречу сыграл в Кубке страны. Благодаря показанной игре, Алексей Козлов привлек к себе внимание ряда клубов, в числе которых были московские «Спартак» и «Динамо», а также казанский «Рубин», к переходу в который игрок был близок в августе 2009 года. После завершения первенства Козлов мог пополнить ряды самарских «Крыльев Советов», которые договорились с «КАМАЗом» о трансфере, однако следующий сезон Алексей начал снова в «КАМАЗе». Принял участие в 23 играх, в которых забил 1 мяч, в первенстве и 2 матча провел в Кубке, после чего, в августе 2010 года, покинул клуб, перейдя в «Кубань», при этом в июле того года им снова интересовались «Крылья».

Контракт с «Кубанью» Козлов подписал на 3 года. Дебютировал за новый клуб 21 августа, выйдя в стартовом составе в домашнем матче 25 тура первенства против «Химок» из одноименного города, в той встрече Козлов получил рассечение. Всего в том сезоне Алексей провел за «Кубань» 13 игр и стал, вместе с командой, победителем Первого дивизиона России. В 2011 году 13 марта дебютировал в Премьер-лиге в домашнем матче 1 тура чемпионата против казанского «Рубина».

В 2014 году 27 февраля в последний день трансферного окна перешел в московское «Динамо». В московской команде он присоединился к тренеру Дану Петреску, с которым уже работал вместе в «Кубани». Козлов дебютировал в стартовом составе белолубых 9 марта 2014 года в матче против ЦСКА. В июне 2015 года выставлялся на трансфер, но остался в «Динамо».

В 2008 году привлекался к сборам молодежной сборной России. В 2011 году 19 августа Алексей был вызван в стан второй сборной России на матч c олимпийской сборной Белоруссии. В конце мая 2013 года получил свой первый вызов в главную сборную России на матч квалификации ЧМ-2014 с Португалией.

Дебют за сборную состоялся 7 июня 2013 в отборочном матче к чемпионату мира 2014 года против сборной Португалии. Выйдя на 31 минуте матча, он заменил Александра Анюкова. Алексей - участник чемпионата мира 2014 года в Бразилии. Принял участие в матчах с Бельгией и Алжиром.