Владимир Кубышко родился 23 августа 1962 года в городе Андижан, Республика Узбекистан. Окончил Ленинградское высшее военно-политическое училище ПВО. Позже получил диплом Гуманитарной академии Вооруженных Сил Российской Федерации. Владимир Леонидович имеет ученную степень кандидат педагогических наук.
До 1992 года проходил службу в Вооруженных Силах на различных офицерских должностях.
В 1998 году начал службу в органах внутренних дел с должности заместителя начальника ОВД «Новокосино» по кадрам УВД Восточного административного округа города Москва. Проходил службу в Главном управлении кадров и кадровой политики МВД России.
В период с 2002 по 2005 годы возглавлял управление кадров и воспитательной работы Московского университета МВД России. С 2005 по 2010 годы занимал должности заместителя, первого заместителя начальника Департамента кадрового обеспечения МВД России.
В мае 2010 года Кубышко Владимир Леонидович назначен начальником Департамента кадрового обеспечения МВД России.
Указом Президента Российской Федерации от 12 июня 2011 года Кубышко Владимир Леонидович назначен начальником Департамента государственной службы и кадров Министерства внутренних дел Российской Федерации.
Владимир Леонидович награжден государственными и ведомственными наградами.