Юрий Куклачев родился 12 апреля 1949 года в городе Москва. Родители мальчика являлись обычными рабочими. Когда Юре исполнилось семь лет, впервые увидел в кинотеатре фильм с участием Чарли Чаплина. Американский актер произвел на мальчишку такое сильное впечатление, что дал себе слово стать клоуном. Парень семь раз пытался попасть в детскую учебную студию при цирковом училище, но раз за разом получал отказ. Тем не менее, желания выступать в цирке эти отказы не приглушали, скорее наоборот.
После окончания школы Юрий Куклачев устроился на работу в типографию «Молодая гвардия», а по вечерам обучался цирковому искусству в кружке при Доме культуры. Однажды на фестивале художественной самодеятельности семнадцатилетний юноша стал лауреатом Всесоюзного смотра и получил приглашение учиться в Московском государственном училище циркового и эстрадного искусства. Позднее получил и высшее образование по специальности «театральный критик» в Российском Институте Театрального Искусства.
Впервые о Юрии Куклачеве страна заговорила в феврале 1976 года. До этого у клоуна уже имелись выступления на арене цирка, но артист все время хотел придумать что-то свое, чего еще ни у кого не было. И именно на том памятном концерте Юрий вышел к зрителям в сопровождении домашней кошечки по имени Стрелка. Самым необычным было то, что кошка не боялась яркого света и шумных аплодисментов. Она вела себя так, что всем стало ясно: главная звезда выступления именно она.
Постепенно созданные Куклачевым программы «Кошки и клоуны» и «Город и мир» покорили не только Советский Союз, но и весь мир. Зрители никак не могли понять, как же артисту удалось воспитать это домашнее животное, ведь раньше считалось, что кошка не поддается дрессировке. Сам Юрий Дмитриевич уверяет, что не применяет к своим артистам дрессуру как таковую.
Артист внимательно следит за особенностями и интересами каждого конкретного зверька и просто помогает развить котятам их таланты. Мужчина уверен, что у животных, как и у людей, всегда заложен определенный дар, но нужно найти тех, у которых есть именно талант выступлений на арене. Сейчас Куклачев уже достиг такого уровня в понимании четвероногих друзей, что ему достаточно несколько минут, чтобы понять, какой у нее характер и привычки.
Свой опыт и идеи Юрий Куклачев воплотил в первом и единственном в мире частном Театре кошек, который назвал «Кошкин дом». Там, вместе с маленькими пушистыми артистами предлагает зрителям более десятка различных постановок. Также есть в репертуаре Куклачева специальный спектакль «Задушевные беседы с заключенными», с которым ездит в российские колонии для оступившихся в жизни детей. Сейчас «Кошкин дом» превратился в настоящее семейное дело, так как и жена и трое детей работают в театре.
В кинематографе Юрий Куклачев дебютировал в 1980 году. Сначала снимался в документальных лентах о цирковых артистах «С улыбкой доброй...», «Комсомол, Любовь и Весна» и в музыкально-развлекательной картине «А также цирк».
В 1986 году Юрий дебютировал в игровом кино. Ему предложили интересную роль в детском комедийном фильме «Выше Радуги», где также дебютировал в детском образе Дмитрий Марьянов. Позднее клоун снимался в совместном советско-финском проекте «Микко из Тампере просит совета» и буффонаде «Кот и клоун». Далее Юрий Куклачев снялся в познавательном сериале «Не может быть!», где играет самого себя.
В 2015 году на двадцатипятилетие театра кошек Куклачев представил спектакль под названием «Династия», в который вошли лучшие номера за всю творческую карьеру мастера. Для участия в постановке Юрий Дмитриевич задействовал свою семью, цирковую труппу и тридцать пять кошек.
На апрель 2019 года Театр кошек продолжает радовать маленьких зрителей новыми спектаклями. Ежегодно в праздничные дни проходит постановка, посвященная Новому году, анонсы которого размещены на официальном сайте театра Юрия Куклачева.
1976 - Золотая корона клоунов (Канада) и диплом «За гуманное отношение к животным и пропаганду гуманизма»
1976 - Посол доброй воли (Канада)
1977 - Почетный член клоунов Америки
1980 - Премия Ленинского комсомола - за большие достижения в области оригинального жанра циркового искусства
14 февраля 1980 - Заслуженный артист РСФСР
1981 - Премия «Золотой Оскар» (Япония)
1985 - Приз «Серебряный клоун» на Международном конкурсе артистов цирка в Монте-Карло
9 июня 1986 - Народный артист РСФСР
17 декабря 1994 - Орден Дружбы - за заслуги перед народом, связанные с развитием российской государственности, достижениями в труде, науке, культуре, искусстве, укреплением дружбы и сотрудничества между народами
2011 - Почетный профессор Московского государственного университета культуры и искусств (МГУКИ)
2012 - Почетный профессор Белорусского государственного университета культуры и искусств (БГУКИ)
1980 - С улыбкой доброй… (документальный; Лентелефильм)
1982 - Комсомол, любовь и весна (документальный)
1983 - А также цирк (документальный)
1984 - Кот и клоун (документальный)
1986 - Выше Радуги (художественный) - Иван Иванович
1986 - Микко из Тампере просит совета (художественный; СССР - Финляндия) - камео
1993 - Только кошки (документальный)
Отец - Куклачев Дмитрий Семенович (1924-1995).
Мать - Куклачева Валентина Ивановна (1928-2005).
Жена - Елена Исааковна Куклачева (Гурина; род. 4 января 1948 в Москве). Юрий Куклачев познакомился с будущей супругой в 1970 году, еще будучи студентом циркового училища; Елена Гурина была танцовщицей, занималась в Студии Ансамбля народного танца И. А. Моисеева. Вскоре они поженились, Елена Куклачева стала ассистировать мужу на выступлениях; в настоящее время работает в Театре кошек.
Старший сын - Дмитрий Куклачев родился 5 августа 1975 года в Москве. Окончил Государственное училище циркового и эстрадного искусства в 1994 году и режиссерский факультет ГИТИСа в 2002 году. В 2009 году получил звание «Заслуженный артист Российской Федерации». Артист и первый заместитель художественного руководителя. Жена Дмитрия Куклачева Марина также работает в Театре кошек, почетный деятель искусств города Москвы.
Дочь - Екатерина Куклачева родилась 18 ноября 1980 года в Москве. В 2003 году окончила Московский государственный текстильный университет имени А. Н. Косыгина. Главный художник, заместитель художественного руководителя по общим вопросам Театра кошек Куклачева, рисует кошек.
Младший сын - Владимир Куклачев родился в 1983 году в Москве. Окончил Академию балета (класс П. Е. Корогодского), работал солистом Балетного театра Панова в Израиле. После окончания карьеры танцовщика работает артистом в Государственном театре кошек Куклачева в Москве.