Александр Кулагин родился 3 февраля 1971 года в городе Севастополь Республики Крым. Получил образование в Одесском мореходном училище, которое окончил с отличием в 1990 году.

Трудовую деятельность Кулагин начал будучи студентом. Работал в Севастопольском государственном предприятии «Атлантика» на должности электрика 1 класса - электромеханика судов загранплавания МРХ СССР.

С 1995 по 2001 год являлся коммерческим директором предприятия. Некоторое время возглавлял аудиторскую фирму «Эксперт Аналитик Центр».

В 2000 году получил диплом Севастопольского государственного технического университета. С 2005 года является старшим преподавателем кафедры «Учет и аудит» Севастопольского госуниверситета.

В 2014 году окончил аспирантуру Национальной Академии статистики, учета, аудита. Затем изучал юриспруденцию в магистратуре Ростовского государственного экономического университета, которую окончил в 2018 году.

Являлся внештатным судебным экспертом Харьковского, Крымского НИИ Судебных экспертиз.

В сентябре 2014 года был избран депутатом Законодательного Собрания города Севастополя I созыва. Являлся заместителем председателя Собрания. Член Всероссийской Политической Партии «Единая Россия».

Во время исполнения депутатских полномочий входил в Координационный Совет и являлся советником Губернатора города Севастополя, был членом Наблюдательного Совета УОГ «35-я береговая батарея» и членом Общероссийского народного фронта «За Россию».

В дни «русской весны» входил в состав Координационного совета по организации Севастопольского городского управления по обеспечению жизнедеятельности Севастополя под руководством Алексея Михайловича Чалого. Организовывал сбор благотворительных средств. Обеспечивал разработку правовой основы и подготовку к проведению референдума о включении Крыма и Севастополя в состав Российской Федерации на правах отдельных субъектов. В составе севастопольской делегации находился в Москве 18-19 марта. Возглавил группу по разработке в кратчайшие сроки проектов Устава города, законов о выборах и иных нормативных правовых актов города федерального значения Севастополя.

30 сентября 2019 года исполняющий обязанности губернатора Севастополя Михаил Развожаев обновил состав регионального правительства. По результатам совещания должность исполняющего обязанности заместителя губернатора - Председателя правительства Севастополя занял Александр Андреевич Кулагин. Курировал медицину.

В 2020 году прошел профессиональную переподготовку в ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации» по программе «Медицинское право».

10 ноября 2020 года депутаты Законодательного Собрания города Севастополь согласовали назначение Кулагина на должность заместителя губернатора. Отвечает за социальную сферу.

Отмечен Медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (апрель 2014).

Женат, воспитывает троих детей.