Алексей Култышев родился 17 ноября 1982 года в городе Екатеринбург, Свердловская область. После школы, с 1999 по 2004 года получал высшее образование в Уральском государственном техническом университете по направлениям «Газотурбинные, паротурбинные установки и двигатели» и «Экономика и управление предприятием».

С 2002 по 2006 года работал инженером в Уральском государственном институте по проектированию разработки рудных месторождений.

С 2006 года Алексей Юрьевич прошел профессиональный путь от инженера-конструктора, заместителя начальника отдела «Специального конструкторского технологического бюро» до заместителя главного конструктора «СКТБ».   

    В 2007 году успешно защитил диссертацию на соискание ученной степени кандидата технических наук на тему: «Совершенствование режимов пуска турбины К-300-240-2 в составе энергоблока». Позднее получил научное звание доцента Уральского государственного технического университета.

     С 2011 года занимал должность Главного конструктора отдела паровых турбин Акционерного Общества «Уральский турбинный завод» в городе Екатеринбург, Свердловская область.

С 19 июня 2017 года являлся Генеральным конструктором Публичного Акционерного Общества «Силовые машины» в городе Санкт-Петербург.

 В 2017 году 16 октября Алексея Култышева назначили на пост заместителя Генерального директора и Директора по сбыту ПАО «Силовые машины».

Женат, воспитывает сына.