Марина Купцова родилась 22 декабря 1981 года в городе Москва. Марина выросла в семье спортсменов. Мать, Галина Владимировна, в прошлом известная метательница диска. Отец занимался десятиборьем, мастер спорта по толканию ядра. Спортом начала заниматься в 6 лет, под руководством своего отца Геннадия Купцова. Также некоторое время занималась под руководством Александра Бурта.
Окончила Московский педагогический университет. Позже Марина Геннадьевна получила дополнительное образование в Московском Международном Институте Эконометрики, Информатики, Финансов и Права.
С 1998 года в течении 10 лет Купцова входила в состав женской сборной России. В 2002 году Марина Купцова заняла первое место на Чемпионате Европы. Личный рекорд прыжка в 2,03 метра был достигнут Купцовой в Хенгелло в июне 2003 года.
Во время разминки перед соревнованиями «Супер Гран-при Катара» в Дохе в мае 2004 года Марина получила травму ахиллова сухожилия, что привело к долгому перерыву в спорте. Она нe выступала весь 2004 год, а в сезоне 2005 года смогла только взять 1,92 м. Однако, этого хватило для второго места в чемпионате России. Из-за травмы Марина в итогe вынуждена была покинуть спорт в 2008 году.
С 2011 года Купцова занимала должность директора ГБУ «Спортивная школа олимпийского резерва № 44» Москомспорта.
В 2013 году Марине Геннадьевне объявлена благодарность министра спорта РФ.
В ноябре 2016 года Купцова Марина назначена заместителем начальника Центрального спортивного клуба армии (ФАУ МО РФ ЦСКА) по спортивной работе.
Марина Геннадьевна с 9 декабря 2016 года является вице-президентом Всероссийской федерации легкой атлетики.