Алексей Кужиков родился 8 ноября 1980 года в городе Чита, Забайкальский край. В 2002 году, окончил геологический факультет Читинского Государственного Технического Университета по специальности «Экономика и управление на предприятиях горной промышленности и геологоразведки». Позднее, получил дополнительное образование, окончив Российской Академии Государственной службы по специальности «Государственное и муниципальное управление».
В период с 2005 - 2008 год, Кужиков занимал должность директора Общества с Ограниченной Ответственностью «Промышленная компания «Кварц».
Затем, в апреле 2008 года, занял должность генерального директора Общества с Ограниченной Ответственностью «Разрез Тигнинский».
Параллельно с трудовой деятельностью, Кужиков Алексей Александрович принимает активное участие в политической жизни родного региона. Избирался депутатом Законодательного Собрания Забайкальского Края II созыва.
Впоследствии, в 2018 году, вновь переизбран в ЗСЗК. К исполнению полномочий депутата Законодательного Собрания Забайкальского края III созыва приступил 9 сентября 2018 года.
Является членом фракции политической партии «Единая Россия». Входит в состав комитета по бюджетной и налоговой политике.