Алексей Лескин родился 1 августа 1978 года в городе Волгоград. В родном городе окончил Волгоградский Государственный медицинский университет.
Долгое время жил и работал на Кавказе. Позднее перебрался в Приморье, в Хабаровский край, затем переехал на Сахалин.
С 2012 года исполнял обязанности Вице-Мэра, руководителя аппарата города Южно-Сахалинск. В 2014 году характеризовался, руководством области, как человек принципиальный и ответственный. В этот периуд он руководил советом по противодействию коррупции.
Вице-мэр Южно-Сахалинска Алексей Лескин 29 апреля 2015 года отстранен от должности. Правоохранительные органы задержали чиновника высокого ранга, поместив его под стражу.
Дома и на работе были проведены обыски.
Спустя почти полтора года, 28 августа 2016 года Алексей Лескин отпущен из под стражи, под домашний арест. Со слов адвоката Сергейя Вершинина, - суд вынес решение отказать следователю в удовлетворении ходатайства о продлении срока ареста чиновника.