Юрий Левицкий родился 15 октября 1961 года в селе Бабаюрт Дагестанской АССР. В 1983 году окончил Дагестанский государственный университет. Трудовую деятельность начал в 1979 году лаборантом кафедры общей физики своего университета. После получения высшего образования прошел путь от заместителя секретаря комитета комсомола университета до второго секретаря Дагестанского обкома комсомола.

С 1993 года работал помощником председателя Махачкалинского городского Совета народных депутатов, заведующим отделом, заместителем главы администрации города Махачкалы. В 1995 году был избран председателем Комитета Народного Собрания Республики Дагестан по межнациональным отношениям, внешним связям, делам общественных объединений и религиозных организаций. В 1996 году был назначен заместителем Руководителя - Управляющим делами Администрации Государственного Совета и Правительства Республики Дагестан.

С 2002 года работал первым заместителем, затем был назначен Постоянным представителем Республики Дагестан при Президенте Российской Федерации. В 2007 году стал заместителем генерального директора Всероссийского выставочного центра. С 2009 года работал советником Президента Республики Дагестан, заместителем Руководителя, а затем Руководителем Аппарата Народного Собрания Республики Дагестан. В марте 2013 года был назначен начальником Управления по вопросам государственной службы, кадров и государственным наградам Президента Республики Дагестан.

Юрий Андреевич Левицкий избирался депутатом Бабаюртовского районного Совета народных депутатов Дагестанской АССР, депутатом Народного Собрания Республики Дагестан. Действительный государственный советник Республики Дагестан 1 класса. Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, Почетной грамотой Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации, другими государственными наградами Российской Федерации и Республики Дагестан. Ему присвоено почетное звание «Заслуженный работник государственной службы Республики Дагестан».

На выборах 18 сентября 2016 года Левицкий Юрий Андреевич был избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Член фракции «Единая Россия». Член комитета ГД по культуре. Дата начала полномочий - 18 сентября 2016 года.