Михаил Лобашев родился 29 октября (11 ноября) 1907 года в селе Большое Фролово Тетюшского уезда Казанской губернии, ныне это Буинский район Татарстана.
В 1931 году окончил биологическое отделение Ленинградского университета, учился на кафедре генетики и экспериментальной зоологии. После окончания университета работал на кафедре генетики ассистентом, затем доцентом. В 1932 году стал младшим научным сотрудником в Институте генетики АН СССР, принял участие в нескольких животноводческих экспедициях в Среднюю Азию.
Участник Великой Отечественной войны, в качестве ополченца сражался на Ленинградском фронте. Декан биологического факультета ЛГУ (1947-1948), снят с должности как генетик-«морганист» после августовской сессии ВАСХНИЛ.
В 1949 году стал заведующим лабораторией в Институте физиологии имени И. П. Павлова в Колтушах, где провёл серию сравнительных исследований высшей нервной деятельности беспозвоночных и позвоночных животных.
Профессор ЛГУ имени А. А. Жданова (1953), заведующий кафедрой генетики и селекции ЛГУ (с 1957). Основные труды по физиологии процессов мутации и рекомбинации, генетике поведения, физиологии высшей нервной деятельности и формированию приспособительных реакций в онтогенезе животных.
Михаил Лобашёв был одним из прототипов Сани Григорьева — главного героя романа Вениамина Каверина «Два капитана».
Скончался 4 января 1971 года. Похоронен на Красненьком кладбище Ленинграда.
На доме Веге в Петербурге по адресу набережная Крюкова канала, 14, в 2004 году была установлена мемориальная доска (скульптор А. А. Пальмин) с текстом: «В этом доме с 1934 по 1971 год жил и работал выдающийся генетик, ученый и педагог Михаил Ефимович Лобашёв».