Александр Мамонтов родился 21 июня 1972 года в городе Кемерово. В 1994 году окончил Кузбасский политехнический институт. Трудовую деятельность начал в августе 1994 года с должности слесаря по ремонту автомобилей, отряда технической службы управления Государственной противопожарной службы УВД Кемеровской области.

Далее, с декабря 1994 года, Мамонтов работал в должности стажера на должности инспектора по обеспечению группы обслуживания, отряда технической службы УГПС УВД Кемеровской области. С 3 марта 1995 года являлся инспектором по обеспечению группы обслуживания, отряда технической службы УГПС УВД Кемеровской области. В период с июля 1995 по декабрь 1997 года, Александр занимал должность заместителя начальника части технической службы №7 отряда технической службы управления Государственной противопожарной службы УВД Кемеровской области. С декабря 1997 года, замещал должность заместителя начальника части технической службы №7 ПТЦ УГПС УВД Кемеровской области.

С мая 1998 года, Александр Мамонтов занял пост начальника части технической службы №8 по техническому обеспечению производственно-технического центра управления Государственной противопожарной службы УВД Кемеровской области. В 2001 году, служащий завершил обучение в Омской Академии Министерства Внутренних Дел Российской Федерации. В сентябре 2000 года, офицер назначен на должность заместителя начальника хозяйственной части, учебного центра пожарной охраны управления Государственной противопожарной службы ГУВД Кемеровской области. Далее, вплоть до июня 2006 года, занимал различные начальствующие должности в вышеуказанном ведомстве.

В дальнейшем, с июня 2006 по ноябрь 2006 года, Мамонтов исполнял обязанности первого заместителя начальника по Государственной противопожарной службе Главного управления МЧС России по Кемеровской области, а в ноябре того же года, назначен на вышеуказанную должность.

В 2008 году, госслужащий получил дополнительное образование, успешно окончив обучение в Академии Государственной противопожарной службы МЧС России. С декабря 2010 года, Александр Сергеевич служил заместителем начальника Главного управления МЧС России по Кемеровской области по Государственной противопожарной службе.

В марте 2013 года, Мамонтов Александр Сергеевич назначен на должность начальника Главного Управления МЧС России по Кемеровской области.

Владимир Путин указом 4 июня 2018 года, освободил Александра Мамонтова от занимаемой должности Начальника Главного Управления МЧС России по Кемеровской области.