Алексей Марченко родился 2 января 1992 года в городе Москва. Является воспитанником московской Детско-Юношеской Спортивной Школы по хоккею «ЦСКА». Принимал непосредственное участие в различных детских и юношеских чемпионатах и первенствах.
Профессиональную карьеру, Марченко начал в 2009 году в составе клуба Молодежной Хоккейной Лиги «Красная Армия». В первых числах декабря того же года, в матче против чеховского хоккейного клуба «Витязь» - дебютировал в первенстве Континентальной Хоккейной Лиги составе хоккейного клуба «ЦСКА» города Москва. В сезоне 2010 - 2011 года, Алексей в составе «Красной Армии», завоевал Кубок Харламова, также получив приз, имени Вячеслава Фетисова как лучший защитник Молодежной Хоккейной Лиги.
В 2011 году, на драфте НХЛ хоккеист выбран в 7 раунде под общим 205 номером клубом «Детройт Ред Уингз». Сразу после процедуры драфта Алексей заявил, что в 2012 году постарается пробиться в основной состав «красных крыльев». Сезон 2011 - 2012 года, Марченко начал в составе основной команды, однако спустя всего лишь 4 матча, перспективный игрок в очередной раз в своей карьере получил травму и выбыл на 7 месяцев.
В конце мая 2013 года, Алексей Марченко подписал трехлетний контракт новичка с североамериканским хоккейным клубом «Детройт Ред Уингз». В сезоне 2013 - 2014 года, выступал за хоккейную команду «Гранд-Рапидс Гриффинс», фарм-клуб «Детройта», в АХЛ. Первый матч в Национальной Хоккейной Лиги в составе «Детройта», игрок провел 4 января 2014 года против хоккейного клуба «Даллас Старз». Первую шайбу в НХЛ, Марченко забросил 28 февраля 2015 года, в матче против хоккейного клуба «Нэшвилл Предаторз».
Хоккеист заключил с хоккейным клубом НХЛ «Детройт» летом 2016 года контракт сроком на 2 года. В начале февраля 2017 года, игрок выставлен «Детройтом» на драфт отказов, откуда Алексея забрал хоккейный клуб «Торонто Мейпл Лифс». В 2017 году, хоккеист вернулся в родную команду «ЦСКА». На начало второй половины сезона 2017 - 2018 года, Марченко Алексей является защитником хоккейного клуба Континентальной Хоккейной Лиги «ЦСКА» города Москва.
Алексея Марченко 25 января 2018 года включили в состав хоккейной сборной для участия в зимних Олимпийских играх в городе Пхенчхан. В составе команды, 25 февраля 2018 года, стал Чемпионом зимних Олимпийских игр.