Егор Мартынов родился 15 августа 1990 года в городе Челябинск. Является воспитанником челябинской Детско-Юношеской Спортивной Школы по хоккею. Принимал непосредственное участие в детских и юношеских первенствах и чемпионатах.
В 2008 году, Мартынов дебютировал в составе хоккейного клуба «Мечел», выступающего в Высшей Хоккейной Лиге. Защищал цвета челябинского клуба вплоть до 2011 года. Далее перешел в красноярский хоккейный клуб ВХЛ «Сокол», за который провел 9 матчей, после чего отправился в фарм-клуб хоккейной команды «Локомотив» - «Локомотив ВХЛ».
В начале сезона 2013 - 2014 года, защитник дебютировал в Континентальной Хоккейной Лиге, выступая за хоккейный клуб «Металлург» города Новокузнецк. В середине января 2014 года перешел в новосибирский хоккейный клуб «Сибирь». Далее играл за хоккейный клуб КХЛ «Локомотив» Ярославль, но в конце ноября 2014 года осуществил переход в стан челябинского «Трактора».
В 2016 году, Егор Мартынов подписал контракт с хоккейным клубом «Авангард». На начало сезона 2017 - 2018 года, является защитником хоккейного клуба Континентальной Хоккейной Лиги «Авангард» города Омск.