Анна Меликян родилась 8 февраля 1976 года в городе Баку, Республика Азербайджан. Детство ее прошло в городе Ереван, Армения. Талант проявился у нее рано, еще в детском саду. Девочка умела рассказывать истории так, что детвора слушала ее с открытым ртом. В школе Анна часто подменяла заболевших учителей. Ее вызывали к завучу, затем ставили возле доски, и она рассказывала ученикам свои истории.
Удивительно, но в отличие от большинства сверстниц стать актрисой Анна не мечтала. Ей нравилось наблюдать за людьми со стороны. Это качество помогало ей в постановке спектаклей в детском саду и школе. Учителя не раз говорили Анне, что она станет режиссером. Так и получилось. В 17 лет Меликян переехала в город Москва и поступила на режиссерский факультет ВГИКа. Ей повезло, попала на курс Сергея Соловьева. В студенческие годы сняла несколько короткометражных лент, а в 1999 году ее курсовой работой стала картина «Полетели», в которой главную роль сыграла Нелли Уварова.
После института Анна работала на канале «ТВ-6», снимала программу о путешествиях. Ее руководству все нравилось настолько, что ей предлагали любой проект на выбор. Она могла бы снимать рейтинговые ледовые шоу, «Голубые огоньки», но предпочла кино. Некоторые коллеги не поняли ее решения - недоуменно пожали плечам: сейчас они говорят о феноменальной удаче Анны Меликян. Режиссер признается, что предпочитает оставаться в тени, блистать в кадре ей никогда не хотелось, хотя по актерскому мастерству у нее были хорошие оценки.
Ее короткометражку «До востребования» выкупили музеи кино в городах Рим и Мельбурн в 2000 году. Первая полнометражная картина режиссера Анны Меликян - «Марс», ее премьера прошла на кинофестивале в городе Берлин в 2004 году. Сценарий написала сама. В главных ролях «Марса» снялись Евгения Добровольская и Гоша Куценко. Эта работа получила специальный приз продюсеров на кинофестивале «Киношок».
Второй фильм «Русалка» тоже стал режиссерской удачей. Получил приз кинофестиваля в Санденсе в номинации «Лучшая режиссерская работа», а в 2008 году был номинирован на премию «Оскар» от России. Следующая работа Анны Меликян - мелодрама «Звезда». На кинофестивале «Кинотавр» этот фильм победил сразу в двух номинациях: за лучшую режиссуру и лучшую женскую роль. Еще один «Кинотавр» в копилку режиссера принес лирический альманах «Про любовь». Фильм состоит из 5 новелл, объединенных монологами Ренаты Литвиновой.
Авторитетный журнал Голливуда «Variety» включил ее в ТОП-10 перспективных молодых режиссеров. У Анны есть собственный режиссерский стиль. Продюсеры и критики говорят, что она снимает новое женское кино. Ее героини узнаваемы, у них сильный характер, сюжет берет за живое, а финал всегда непредсказуем. А еще внимательна к деталям, стремится быть достоверной. В картине «Звезда» весь реквизит был настоящим: сумка «Биркин» действительно стоит 40 тысяч евро, украшения с бриллиантами тоже настоящие. С такой же щепетильностью подходит к выбору консультантов и гримеров.
На съемкахМеликян уходит в работу с головой, а в остальное время обычная женщина с такими же заботами, как у других. О личной жизни говорит скупо и неохотно. Воспитывает дочь Александру. Анна Меликян была замужем один раз. Ее супруг, продюсер, генеральный директор компании «Централ Партнершип» Рубен Дишдишян. В браке с ним и родилась дочь Александра. Их брак закончился разводом. Причину расставания с мужем режиссер не комментирует.